Math-00.数学分布-13.几何分布

几何分布（Geometric distribution）描述独立伯努利试验中首次成功所需试验次数（或首次成功前的失败次数），是离散版的「等待时间」模型，具有与指数分布类似的无记忆性。

段末注释：无记忆性（memoryless property）指已等待若干次失败不影响剩余等待次数的分布形态。

读前说明：离散分布，下文给出 PMF。系列：00 规划 | 前置：10.伯努利。

1. 产生背景与直观

$图 1　几何分布直观$

每次试验成功概率 $p$，问「第几次才第一次成功」。直觉：

反复 PCR 直到首次扩增成功
筛库直到找到第一个活性克隆
反复抛硬币直到首次正面

核心：固定 $p$，等待次数 $X$ 的分布只依赖 $p$，与已失败次数无关（无记忆）。

2. 定义与参数

两种常见参数化（文献与软件可能不同）：

参数化	随机变量含义	scipy
A	首次成功前失败次数 $Y$	`geom(p)`
B	直到首次成功总试验次数 $X$	`geom(p, loc=1)`

$X = Y + 1$，本文默认 A（失败次数 $Y \sim \mathrm{Geom}(p)$）：

要素	内容
支撑集	${0, 1, 2, \ldots}$
参数	$p \in (0, 1)$，单次成功概率

3. PMF 与 CDF

$图 2　PMF 几何递减$

3.1 PMF（失败次数 $Y$）

$$
P(Y=k) = (1-p)^k p, \quad k=0,1,2,\ldots
$$

总试验次数 $X=k+1$：$P(X=k+1)=(1-p)^k p$。

3.2 CDF

$$
F(k) = P(Y \le k) = 1 - (1-p)^{k+1}
$$

分位数：$k_q = \left\lceil \dfrac{\log(1-q)}{\log(1-p)} \right\rceil - 1$（近似）。

4. 数字特征

量	公式（$Y$=失败次数）
期望	$\mathbb{E}[Y] = \dfrac{1-p}{p}$；$\mathbb{E}[X] = \dfrac{1}{p}$
方差	$\mathrm{Var}(Y) = \dfrac{1-p}{p^2}$
众数	$0$（最可能第一次就成功）

$p$ 越小，等待越长，PMF 尾部越重。

5. 与其他分布的关系

关系	说明
Bernoulli	每次试验底为 Ber($p$)
负二项	第 $r$ 次成功前失败数 $\sim \mathrm{NB}(r,p)$；$r=1$ 即几何 → 14.负二项
指数	连续等待时间类比 → 22.指数
Poisson 过程	事件间隔的离散版

6. 前提假设

假设	含义	违背时
独立 Bernoulli 底	每次试验独立	批次相关 → 非几何
$p$ 恒定	成功概率不变	学习/疲劳 → 时变 $p$
无试验上限	可一直重复直至首次成功	最大轮次 → 截断几何
等待首次成功	计数对象为首次成功前的失败数或总次数	固定 $n$ 次成功数 → 二项

段末注释：几何分布具有无记忆性；与指数分别为离散/连续等待时间模型。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
首次成功等待	筛库轮次、首次 PCR 成功
可靠性（离散）	第几次使用才失效（理想化）
序贯检验	SPRT 中等待边界
推荐系统	用户第几次点击才转化（粗模）

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
$p$ 不恒定	学习效应、疲劳 → 非几何
有上限轮次	截断几何
非独立试验	批次相关 → 失效
与二项混淆	固定 $n$ 次成功数 → 二项
参数化混用	读文献须确认是「失败次数」还是「总次数」

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

观测 $n$ 个独立几何变量（失败次数）$y_1,\ldots,y_n$：

$$
\hat{p}{\mathrm{MLE}} = \frac{n}{n + \sum{i=1}^n y_i}
$$

9.2 检验

几何性检验：与指数离散版对应
与 Math-01 显著性检验序贯检验衔接

10. 示例与代码

场景：酶定向进化每轮成功概率 $p=0.05$，模拟首次成功所需轮次。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

p = 0.05
# scipy.geom: 失败次数 Y
Y = stats.geom.rvs(p, size=5000, random_state=42)
X = Y + 1  # 总试验次数

print(f"E[Y] theory={(1-p)/p:.1f}, sim={Y.mean():.1f}")
print(f"E[X] theory={1/p:.1f}, sim={X.mean():.1f}")

# 无记忆性：P(Y>2+3 | Y>2) = P(Y>3)
s, t = 2, 3
cond = stats.geom.sf(s+t, p) / stats.geom.sf(s, p)
uncond = stats.geom.sf(t, p)
print(f"P(Y>{s+t}|Y>{s})={cond:.4f}, P(Y>{t})={uncond:.4f}")

k = np.arange(0, 40)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.bar(k, stats.geom.pmf(k, p), alpha=0.7, label=f'p={p}')
ax.set_xlabel('failures before first success (Y)')
ax.set_ylabel('PMF'); ax.legend()
plt.savefig('geometric_pmf.png', dpi=150)

11. 小结

Geom($p$)：首次成功前的失败次数；无记忆、PMF 几何递减。
$r=1$ 的负二项特例；连续类比为 Exp($\lambda$)。
注意 scipy 与教材的参数化（失败次数 vs 总次数）。

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参考文献

scipy.stats.geom