Math-00.数学分布-25.Beta分布

Beta 分布（Beta distribution）定义在 $(0,1)$ 区间，是比例、概率参数的天然模型，也是伯努利/二项似然的共轭先验，在 A/B 测试与贝叶斯推断中广泛使用。

段末注释：Beta–Binomial 共轭指先验 $p \sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$，观测二项数据后后验仍为 Beta。

读前说明：连续分布，支撑 $(0,1)$，下文给出 PDF。系列：00 规划 | 相关：10.伯努利。

1. 产生背景与直观

$图 1　Beta 直观$

在 $[0,1]$ 上描述「成功概率 $p$ 本身的不确定性」。$\alpha,\beta$ 可视为伪计数：先验等价于已见 $\alpha$ 次成功、$\beta$ 次失败。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$，$\alpha>0$，$\beta>0$：

要素	内容
支撑集	$(0, 1)$
参数	$\alpha$（成功伪计数），$\beta$（失败伪计数）
特例	$\mathrm{Beta}(1,1)=\mathrm{U}(0,1)$ → 23.均匀

3. PDF 与 CDF

$图 2　PDF 形态族$

3.1 PDF

$$
f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 < x < 1
$$

$B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)$ 为 Beta 函数。

3.2 CDF

$$
F(x) = I_x(\alpha, \beta)
$$

$I_x$ 为正则化不完全 Beta 函数。

4. 数字特征

量	公式
$\mathbb{E}[X]$	$\alpha / (\alpha + \beta)$
$\mathrm{Var}(X)$	$\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$
众数	$(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$（$\alpha,\beta>1$）

$\alpha+\beta$ 越大，分布越窄（越「确定」）。

5. 与其他分布的关系

关系	说明
Uniform	$\mathrm{Beta}(1,1)=\mathrm{U}(0,1)$
Bernoulli / Binomial	$p$ 的先验 → 后验 Beta
Dirichlet	多元 Beta，$K$ 类比例
F 分布	与 Beta 有变换关系
Order statistics	$\mathrm{U}(0,1)$ 次序统计量 $\sim \mathrm{Beta}$

6. 前提假设

假设	含义	违背时
$p\in(0,1)$	建模对象是成功概率/比例本身	无界效应量 → Logit-Normal
有界不确定性	对 $p$ 的先验或后验信念	无界参数 → 其他先验
与二项共轭（推断）	观测为独立 Bernoulli/二项计数	过离散 → Beta–Binomial
$\alpha,\beta>0$	形状参数为正	$\alpha,\beta<1$ 时端点 U 形奇异

段末注释：$\mathrm{Beta}(1,1)=\mathrm{U}(0,1)$；$\alpha,\beta$ 可视为成功/失败的伪计数。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
比例先验/后验	转化率 $p$ 的贝叶斯更新
A/B 测试	两版转化率 posterior 比较
蛋白有害率	突变有害比例 $p$ 的区间估计
概率校准	分类器输出 $[0,1]$ 的分布拟合
Thompson 采样	从 Beta 后验抽样做探索

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
$p$ 可超出 [0,1] 语境	不适用；用正态/Logit-Normal
过度离散比例	应用 Beta–Binomial 或层次模型
$\alpha,\beta<1$	U 形 PDF，端点奇异
小样本先验敏感	伪计数选择影响大
与 Logistic 混淆	Beta 是 $p$ 的分布，非 link 函数

9. 参数估计与推断

9.1 共轭更新

先验 $p \sim \mathrm{Beta}(\alpha_0,\beta_0)$，观测 $k$ 成功、$n-k$ 失败：

$$
p \mid \text{data} \sim \mathrm{Beta}(\alpha_0 + k,; \beta_0 + n - k)
$$

后验均值：$\mathbb{E}[p\mid\text{data}] = \dfrac{\alpha_0+k}{\alpha_0+\beta_0+n}$。

9.2 可信区间

用 Beta 分位数构造 $p$ 的 95% 可信区间；与 10.伯努利中 Wilson 区间对照。

10. 示例与代码

场景：先验 Beta(2,2)，观测 12/50 活性提升，求后验与 95% 可信区间。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

alpha0, beta0 = 2, 2
k, n = 12, 50
alpha_post = alpha0 + k
beta_post = beta0 + n - k

post = stats.beta(alpha_post, beta_post)
ci = post.ppf([0.025, 0.975])
print(f"posterior mean={post.mean():.3f}, 95% CrI={ci}")

x = np.linspace(0, 0.6, 300)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.plot(x, stats.beta.pdf(x, alpha0, beta0), '--', label='prior Beta(2,2)')
ax.plot(x, post.pdf(x), 'r-', lw=2, label=f'posterior Beta({alpha_post},{beta_post})')
ax.axvline(k/n, color='gray', ls=':', label=f'MLE p={k/n:.2f}')
ax.set_xlabel('p'); ax.legend()
plt.savefig('beta_posterior.png', dpi=150)

# P(p > 0.2 | data)
print("P(p > 0.2 | data) =", 1 - post.cdf(0.2))

11. 小结

Beta($\alpha,\beta$)：$(0,1)$ 上比例/概率的共轭先验；$\mathrm{Beta}(1,1)$ 为均匀。
A/B 测试与 Bernoulli 推断的标准贝叶斯工具。
观测增多时后验收窄，趋近真实 $p$。

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参考文献

scipy.stats.beta