卡方分布（Chi-square distribution，$\chi^2$）是 $k$ 个独立标准正态随机变量平方和的分布，是拟合优度检验、独立性检验与方差推断的理论基础。
段末注释：$\chi^2$ 读作「卡方」；自由度 $\nu$（degrees of freedom，df）决定分布形态。
读前说明：连续分布，支撑集 $(0,+\infty)$。系列：20 正态 | 28 F。
1. 产生背景与直观
若 $Z_1,\ldots,Z_k$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$，则
$$
\chi^2_k = \sum_{i=1}^k Z_i^2
$$
皮尔逊（1900）用 $\chi^2$ 检验分类数据的「观测 vs 期望」偏离，成为列联表分析基石。
2. 定义与参数
$X \sim \chi^2_\nu$：
| 要素 | 内容 |
|---|---|
| 支撑集 | $(0, +\infty)$ |
| 参数 | 自由度 $\nu > 0$（常为整数） |
3. PDF 与 CDF
3.1 PDF
$$
f(x) = \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)} x^{\nu/2 - 1} e^{-x/2}, \quad x > 0
$$
3.2 CDF
用 scipy.stats.chi2.cdf；上侧分位数 $\chi^2_{\alpha,,\nu}$ 用于假设检验临界值。
4. 数字特征
| 量 | 公式 |
|---|---|
| $\mathbb{E}[X]$ | $\nu$ |
| $\mathrm{Var}(X)$ | $2\nu$ |
| 偏度 | $\sqrt{8/\nu}$ |
| $\nu \to \infty$ | $\chi^2_\nu$ 近似 $\mathcal{N}(\nu, 2\nu)$ |
5. 与其他分布的关系
| 关系 | 说明 |
|---|---|
| 正态 | $k$ 个 $\mathcal{N}(0,1)^2$ 之和 → $\chi^2_k$ |
| t 分布 | $t(\nu) = Z / \sqrt{\chi^2_\nu/\nu}$ → 27 |
| F 分布 | 两个独立 $\chi^2$ 之比 → 28 |
| Gamma | $\chi^2_\nu = \mathrm{Gamma}(\nu/2, \mathrm{scale}=2)$ |
| 样本方差 | $n$ 个 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 样本：$(n-1)s^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$ |
6. 前提假设
作为检验统计量的参考分布（非一般观测模型）：
| 假设 | 含义 | 违背时 |
|---|---|---|
| 独立 $N(0,1)$ 构成 | $\sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2$，$Z_i$ i.i.d. 标准正态 | 非正态成分 → 其他参考分布 |
| 大样本渐近（拟合优度） | 期望频数足够大（常 $\ge 5$） | 小期望 → 精确/Fisher |
| 独立观测（列联表） | 各单元格计数独立或近似 | 配对/重复 → McNemar 等 |
| 分类互斥完备 | 各类别划分完备 | 重叠类别 → 重新定义 |
7. 适用场景
| 场景 | 统计量 |
|---|---|
| 拟合优度 | $\sum (O_i-E_i)^2/E_i \sim \chi^2$ |
| 列联表独立性 | 行×列频数 Pearson $\chi^2$ |
| 方差检验 | 样本方差与 $\sigma_0^2$ 比较 |
| 多分类模型 | 分类预测 vs 观测（混淆矩阵） |
规划衔接：Math-01.显著性检验-07.卡方检验。
8. 局限与误用
| 问题 | 说明 |
|---|---|
| 期望频数 $<5$ | 近似失效；用 Fisher 精确或合并类别 |
| 非独立观测 | $\chi^2$ 假设破坏 |
| 连续数据硬分箱 | 损失信息；应用 K-S 等 |
| 与 t/F 混淆 | 检验类型与分布要匹配 |
9. 参数估计与推断
$\chi^2$ 本身通常不作为数据生成模型参数估计，而是作为检验统计量的参考分布。
Pearson $\chi^2$ 统计量：
$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$
在 $H_0$ 下近似 $\chi^2_{k-1}$（或 $(r-1)(c-1)$ 对列联表）。
10. 示例与代码
场景：孟德尔遗传 4 表型，观测 vs 理论 9:3:3:1。
1 | import numpy as np |