Math-00.数学分布-27.t分布

Student t 分布（t-distribution）是小样本、总体方差未知时对样本均值进行推断的参考分布，t 检验的统计量即在 $H_0$ 下服从该分布。

段末注释：t 检验（t-test）比较样本均值与假设值或两组均值差异，$\sigma$ 未知时用 t 分布确定临界值。

读前说明：连续分布，下文给出 PDF。系列：00 规划 | 前置：20.正态。

1. 产生背景与直观

$图 1　t 分布直观$

1908 年威廉·戈塞特（笔名 Student）在吉尼斯啤酒厂研究小样本质量：总体 $\sigma$ 未知时，用样本标准差 $s$ 标准化均值，统计量不再服从标准正态，而呈更重尾的 t 分布。直觉：

仅 5～10 次重复实验估计酶活均值
$\sigma$ 用 $s$ 估计带来的额外不确定性

2. 定义与参数

$T \sim t(\nu)$（$\nu$ 为自由度，degrees of freedom）：

要素	内容
支撑集	$(-\infty, +\infty)$
参数	$\nu > 0$（常为整数，也可推广到实数）

构造（与正态、卡方的关系）：

$$
T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}, \quad Z \sim \mathcal{N}(0,1),; V \sim \chi^2_\nu,; Z \perp V
$$

3. PDF 与 CDF

$图 2　t 分布 PDF 族$

3.1 PDF

$$
f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi},\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}
$$

3.2 性质

对称，单峰，均值 0（$\nu > 1$），方差 $\dfrac{\nu}{\nu-2}$（$\nu > 2$）
$\nu \to \infty$ 时 $t(\nu) \to \mathcal{N}(0,1)$
尾部比正态更厚 → 小样本推断更保守

3.3 CDF / 分位数

用 scipy.stats.t.cdf / ppf；双侧 95% 临界值 $t_{0.975,,\nu}$。

4. 数字特征

$\nu$	方差	与正态对比
1	不存在（Cauchy 特例）	极重尾
2	$\infty$	仍很重尾
5	$5/3 \approx 1.67$	明显厚尾
30	$\approx 1.07$	接近 $\mathcal{N}(0,1)$
$\infty$	1	标准正态

5. 与其他分布的关系

关系	说明
正态	$\nu \to \infty$ 极限为 $\mathcal{N}(0,1)$ → 20.正态
Cauchy	$t(1)$ 即标准柯西分布
F 分布	$F = \dfrac{t_1^2/\nu_1}{t_2^2/\nu_2}$（独立 t 平方比）
样本均值	$n$ 个 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 样本，$\dfrac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
贝叶斯	正态–逆 Gamma 后验预测 t

6. 前提假设

假设	含义	违背时
正态总体	$X_i\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}{\sim}N(\mu,\sigma^2)$	厚尾/偏态 → 非参数/稳健
i.i.d. 样本	观测独立同分布	配对/重复测量 → 配对 $t$
$\sigma$ 未知	用样本标准差 $s$ 估计	$\sigma$ 已知大样本 → 正态/Z
简单随机抽样	无系统偏倚	复杂设计 → 校正/混合模型

段末注释：$\nu\to\infty$ 时 $t$ 趋近标准正态；双样本 $t$ 还需方差齐性（或 Welch 修正）。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
单样本 t 检验	酶活均值 vs WT（$\sigma$ 未知）
双样本 t 检验	两组突变体活性比较
配对 t 检验	处理前后同一批样品
回归系数	$\hat{\beta}_j$ 的 t 统计量
置信区间	$\bar{x} \pm t_{\alpha/2,,n-1}, s/\sqrt{n}$

8. 局限与误用

$图 4　局限$

误用	后果
数据严重非正态仍用 t	I 类错误率失真；用非参或变换
方差不齐仍用合并 t	用 Welch t
多次检验不校正	假阳性膨胀
$n$ 很大仍纠结 t vs Z	二者几乎等价，Z 可接受
忽略配对结构用独立 t	检验功效下降

9. 参数估计与推断

9.1 自由度

单样本：$\nu = n - 1$；两样本合并：$\nu = n_1 + n_2 - 2$；Welch：Satterthwaite 近似。

9.2 t 检验

单样本统计量：

$$
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \quad \text{（在 } H_0: \mu=\mu_0 \text{ 下）}
$$

详见两组数据差异显著性检验、Math-01.显著性检验-02.t检验（规划）。

10. 示例与代码

场景：突变组 8 个酶活 vs 对照假设 $\mu=1$；配对与独立双样本。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

mutant = np.array([1.12, 1.05, 1.18, 0.99, 1.22, 1.08, 1.15, 1.01])
control = np.array([0.98, 1.02, 0.95, 1.00, 0.97, 1.03, 0.99, 1.01])

# 单样本 t 检验
t1, p1 = stats.ttest_1samp(mutant, popmean=1.0)
print(f"one-sample t vs 1.0: t={t1:.3f}, p={p1:.4f}, df={len(mutant)-1}")

# 双样本 Welch t（方差不必齐）
t2, p2 = stats.ttest_ind(mutant, control, equal_var=False)
print(f"Welch t-test: t={t2:.3f}, p={p2:.4f}")

# 配对 t
t3, p3 = stats.ttest_rel(mutant, control)
print(f"paired t-test: t={t3:.3f}, p={p3:.4f}")

# 不同自由度的 t PDF vs 正态
x = np.linspace(-4, 4, 300)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
for df in [1, 3, 10, 30]:
    ax.plot(x, stats.t.pdf(x, df), label=f't df={df}')
ax.plot(x, stats.norm.pdf(x), 'k--', label='N(0,1)')
ax.legend(); ax.set_title('t distribution vs Normal')
plt.savefig('t_vs_normal.png', dpi=150)

# 95% CI for mutant mean
n, m, s = len(mutant), mutant.mean(), mutant.std(ddof=1)
tcrit = stats.t.ppf(0.975, n - 1)
ci = (m - tcrit * s / np.sqrt(n), m + tcrit * s / np.sqrt(n))
print(f"95% CI for mutant mean: [{ci[0]:.3f}, {ci[1]:.3f}]")

11. 小结

$t(\nu)$：正态除以 $\sqrt{\chi^2/\nu}$；厚尾，小样本均值推断基准。
$\nu = n-1$ 时对应单样本 t；$\nu \to \infty$ → 正态。
使用前检查正态性与方差齐性；非正态考虑 Welch 或非参。

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参考文献

Student. The Probable Error of a Mean. Biometrika 1908.
scipy.stats.t