Math-00.数学分布-29.Weibull分布

Weibull 分布（Weibull distribution）是 $(0,\infty)$ 上的灵活寿命分布，通过形状参数 $k$ 控制风险率递增、恒定或递减；$k=1$ 时退化为指数分布，广泛用于可靠性工程与生存分析。

段末注释：风险率（hazard rate）$h(t)=f(t)/S(t)$ 表示时刻 $t$ 瞬时失效强度；Weibull 的 $h(t) \propto t^{k-1}$。

读前说明：连续分布，下文给出 PDF。系列：00 规划 | 前置：22.指数。

1. 产生背景与直观

$图 1　Weibull 直观$

Waloddi Weibull（1951）用于描述材料强度与寿命。最弱环模型：大量独立微缺陷中最早失效时间趋 Weibull。$k>1$ 表示老化（越用越容易坏）；$k<1$ 表示早期失效（ burn-in 后改善）。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Weibull}(k, \lambda)$（scipy：weibull_min(c=k, scale=λ)）：

要素	内容
支撑集	$[0, +\infty)$
形状	$k > 0$
尺度	$\lambda > 0$

3. PDF 与 CDF

$图 2　PDF 随 k 变化$

3.1 PDF

$$
f(x) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} \exp\left[-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right], \quad x \ge 0
$$

3.2 CDF 与生存函数

$$
F(x) = 1 - \exp\left[-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right], \quad S(x) = \exp\left[-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right]
$$

分位数：$x_p = \lambda [-\ln(1-p)]^{1/k}$。

4. 数字特征

量	公式
$\mathbb{E}[X]$	$\lambda ,\Gamma(1 + 1/k)$
$\mathrm{Var}(X)$	$\lambda^2 \left[\Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)\right]$
风险率 $h(t)$	$\dfrac{k}{\lambda}\left(\dfrac{t}{\lambda}\right)^{k-1}$

$k$	风险率	含义
$k=1$	常数	无记忆 → Exp
$k>1$	递增	磨损/老化
$k<1$	递减	infant mortality

5. 与其他分布的关系

关系	说明
Exponential	$k=1$：$\mathrm{Weibull}(1,\lambda)=\mathrm{Exp}(1/\lambda)$
Rayleigh	$k=2$ 特例
Gumbel 极值	经变换联系极值分布
Gamma / Log-normal	同为正值寿命备选
Cox 模型	半参数风险，Weibull 为参数特例

6. 前提假设

假设	含义	违背时
$X\ge 0$	寿命/等待时间非负	—
风险率可建模	失效强度随时间按幂律变化	恒定风险 → 指数
独立寿命（经典）	各单元失效独立	竞争风险 → 多因失效模型
形状 $k$ 合理	$k<1$ 递减、$k=1$ 恒定、$k>1$ 递增风险	多阶段 → 混合 Weibull

段末注释：$k=1$ 时 Weibull 退化为指数；广泛用于可靠性、生存分析。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
可靠性	轴承、芯片寿命
生物/临床	设备或患者生存时间（含删失）
材料强度	断裂应力
酶/试剂稳定性	失活时间（若 hazard 单调）
wind 工程	风速极值（经变换）

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
风险率非单调	浴盆曲线 → 混合 Weibull / Cox
强删失未处理	需生存分析（KM、Cox）
与 Log-normal 竞争	尾部行为不同，需 QQ/ AIC 比较
$k$ 估计方差大	小样本拟合不稳定
多模态寿命	单 Weibull 不够

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

对未删失样本 $x_i$，对数似然：

$$
\ell(k,\lambda) = n\ln k - nk\ln\lambda + (k-1)\sum\ln x_i - \sum (x_i/\lambda)^k
$$

数值优化求 $\hat{k},\hat{\lambda}$。

9.2 检验

K-S / Anderson-Darling 拟合优度
与指数性检验：$H_0: k=1$

10. 示例与代码

场景：模拟 $k=2, \lambda=100$ 的元件寿命，MLE 拟合并画 PDF。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

k, lam = 2.0, 100.0
data = stats.weibull_min.rvs(c=k, scale=lam, size=200, random_state=42)

# MLE via fit
k_hat, loc, lam_hat = stats.weibull_min.fit(data, floc=0)
print(f"true k={k}, lam={lam}; fit k={k_hat:.2f}, lam={lam_hat:.1f}")

x = np.linspace(0, 250, 300)
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.hist(data, bins=25, density=True, alpha=0.6, label='data')
plt.plot(x, stats.weibull_min.pdf(x, k, scale=lam), '--', label='true')
plt.plot(x, stats.weibull_min.pdf(x, k_hat, scale=lam_hat), '-', label='fitted')
plt.xlabel('lifetime'); plt.legend()
plt.savefig('weibull_fit.png', dpi=150)

# hazard: h(t) = (k/lam)*(t/lam)^(k-1)
t = np.linspace(1, 200, 100)
h = (k_hat/lam_hat) * (t/lam_hat)**(k_hat-1)
print("hazard at t=100:", (k/lam)*(100/lam)**(k-1))

11. 小结

Weibull($k,\lambda$)：灵活寿命族；$k=1$ 为指数，$k>1$ 老化，$k<1$ 早期失效。
风险率幂律形式 $t^{k-1}$ 是选型关键。
与 22.指数、21.对数正态常并列比较。

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参考文献

scipy.stats.weibull_min