Math-01.显著性检验-03.Z检验

Z 检验（Z-test）在总体方差 $\sigma^2$ 已知或样本量足够大（CLT）时，用标准正态分布作为检验统计量的参考分布，常用于大样本均值与比例推断。

段末注释：CLT（central limit theorem）保证大样本下 $\bar{X}$ 近似正态。

1. 检验问题（D1）

$图 1　Z 检验直观$

单样本：$H_0: \mu = \mu_0$
双样本：$H_0: \mu_1 = \mu_2$
比例：$H_0: p = p_0$ 或 $p_1 = p_2$

2. 数据条件（D2）

条件	说明
$\sigma$ 已知	理论 Z；实务少见
大 $n$	常用 $n \ge 30$，用 $\bar{X}$ 的渐近正态
比例	$np$ 与 $n(1-p)$ 均 $\ge 5$（或 10）
独立	i.i.d. 或随机抽样

3. 检验统计量（D3–D4）

$图 2　Z 统计量与标准正态$

3.1 均值（$\sigma$ 已知）

$$
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)
$$

3.2 双样本均值

$$
Z = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}
$$

3.3 比例

$$
Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
$$

两样本比例类似，用合并 $\hat{p}$ 估计方差。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	用法
大样本酶活组间比较	双样本 Z（$s$ 代 $\sigma$ 近似）
转化率 A/B（$n$ 大）	比例 Z
已知仪器精度的 QC	单样本 Z
与 t 分工	$n$ 小 → t；$n$ 大 → Z ≈ t

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	应对
$n<30$ 用 Z	用 t 检验
比例 $np$ 过小	精确二项 / 卡方
偏态总体小样本	CLT 不可靠
$\sigma$ 未知却用已知公式	用 t

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

# 大样本均值（用样本 s 近似 sigma）
rng = np.random.default_rng(0)
x = rng.normal(10, 2, 100)
z = (x.mean() - 9.5) / (x.std(ddof=1) / np.sqrt(len(x)))
p = 2 * stats.norm.sf(abs(z))
print(f"Z={z:.3f}, two-sided p={p:.4f}")

# 比例 Z
n, k, p0 = 500, 120, 0.22
z_p = (k/n - p0) / np.sqrt(p0*(1-p0)/n)
print(f"proportion Z={z_p:.3f}, p={2*stats.norm.sf(abs(z_p)):.4f}")

# scipy 内置（大样本）
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
z_stat, p_val = proportions_ztest(k, n, value=p0)
print(f"statsmodels: z={z_stat:.3f}, p={p_val:.4f}")

7. 小结

Z 检验：参考 $\mathcal{N}(0,1)$；大样本均值与比例的标准工具。
$\sigma$ 未知小样本优先 t；比例注意 $np$ 条件。

系列导航：02 t | 07 卡方

参考文献

statsmodels proportions_ztest