Math-01.显著性检验-08.正态性检验

正态性检验判断样本是否来自正态分布，是选用 t 检验、ANOVA 等参数检验前的常见诊断。常用 Shapiro-Wilk、Anderson-Darling 与 QQ 图。

段末注释：QQ 图（quantile-quantile plot）将样本分位数与理论正态分位数对比，直线表示近似正态。

1. 检验问题（D1）

$图 1　正态性检验直观$

$H_0$：数据来自正态分布
$H_1$：非正态

注意：不拒绝 $H_0$ 不证明正态，只表示无足够证据拒绝；应结合 QQ 图与样本量。

2. 数据条件（D2）

条件	说明
连续	离散大量结时 Shapiro 需谨慎
$n$ 范围	Shapiro 常用 $3 \le n \le 5000$
独立	i.i.d.
用途	诊断而非最终科研结论

3. 常用方法（D3–D4）

$图 2　QQ 图与检验$

方法	特点
Shapiro-Wilk	小样本功效高，常用
Anderson-Darling	对尾部更敏感
Kolmogorov-Smirnov	见 05.KS
QQ 图	视觉诊断，无 p 值
偏度/峰度	辅助，非正式检验

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	做法
t 检验前	Shapiro + QQ
ANOVA 前	各组残差 / 各组 Shapiro
回归残差	残差 QQ
酶活偏态	失败则 log 变换或 Mann-Whitney

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	说明
大 $n$ 必拒绝	微小偏离也「显著非正态」
小 $n$ 功效低	非正态也「不显著」
仅检验正态	不检验方差齐性（Levene）
通过正态即可 t	仍须独立、方差齐
忽略变换	log / Box-Cox 后再检

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)
normal_data = rng.normal(0, 1, 30)
skew_data = rng.lognormal(0, 0.8, 30)

for name, data in [("normal", normal_data), ("lognormal", skew_data)]:
    w, p = stats.shapiro(data)
    print(f"{name}: Shapiro W={w:.4f}, p={p:.4f}")

# Anderson-Darling
ad = stats.anderson(normal_data, dist='norm')
print(f"AD statistic={ad.statistic:.3f}, critical 5%={ad.critical_values[2]:.3f}")

# QQ plot
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
for ax, data, title in zip(axes, [normal_data, skew_data], ["Normal", "Log-normal"]):
    stats.probplot(data, dist="norm", plot=ax)
    ax.set_title(title)
plt.savefig("normality_qq.png", dpi=150)

# 变换后重检
log_skew = np.log(skew_data)
print("log-transform Shapiro p:", stats.shapiro(log_skew).pvalue)

7. 小结

正态性检验为参数检验的前提诊断；Shapiro + QQ 图并用。
非正态：变换、06 Mann-Whitney 或非参。
大样本下 p 值易显著，看图形与稳健方法。

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参考文献

scipy.stats.shapiro