Math-02.相关性检验-01.总论

本页为 Math-02 相关性检验 子系列总论。相关分析回答：两变量是否一起变化、变化方向与强度如何——不涉及因果，也不直接做预测（预测见回归）。

段末注释：协方差（covariance）$\mathrm{Cov}(X,Y)$ 度量两变量同向/反向波动；相关系数将其标准化到 $[-1,1]$。

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1. 相关在回答什么（D1）

$图 1　相关分析直观$

正相关：$X$ 增大时 $Y$ 倾向增大（$r>0$）
负相关：$X$ 增大时 $Y$ 倾向减小（$r<0$）
无线性相关：$r \approx 0$（可能有非线性关系）

典型场景：酶活 vs 表达量、biomarker 与表型、特征间共线性初筛。

2. 协方差与相关系数（D2）

$$
\mathrm{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)], \quad
r_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
$$

样本 Pearson 系数：

$$
r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}}
$$

$|r| \le 1$；$|r|$ 越接近 1，线性关系越强。

3. 相关 vs 回归（D3）

$图 2　相关 vs 回归$

	相关	回归
目标	度量关联强度/方向	用 $X$ 预测 $Y$
对称性	$r_{XY}=r_{YX}$	$Y$ on $X$ 与 $X$ on $Y$ 不同
尺度	无量纲 $[-1,1]$	有截距、斜率、$R^2$
因果	均不能单独证明	需设计/因果推断

回归 $R^2$ 在简单线性回归中等于 Pearson $r^2$。

4. 选型决策树（D4–D6）

$图 3　相关系数选型$

两变量 X, Y
├── 连续 + 近似正态 + 关心线性
│     └── Pearson r → [02]
├── 连续/有序 + 单调但可能非线性 / 有离群
│     └── Spearman ρ_s → [03]
├── 有序类别 / 小样本 / 多并列秩
│     └── Kendall τ → [04]
├── 控制第三变量 Z
│     └── 偏相关 → [05]
└── 两分类 / 分类×连续
      ├── [10 分类相关](./Math-02.相关性检验-10.分类变量相关.md)（Phi、Cramér's V、点二列）
      └── biomarker / ML 特征筛选
            └── [20 特征选择中的相关](./Math-02.相关性检验-20.特征选择中的相关.md)

5. 显著性检验通用框架（D5）

$H_0: \rho = 0$（总体无相关）。Pearson 在双变量正态下：

$$
t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \sim t_{n-2}
$$

Spearman / Kendall 常用大样本近似或置换检验。详见各专篇。

多变量相关矩阵 $p$ 个特征 → $p(p-1)/2$ 对比较 → Math-01 多重比较。

6. 解读与效应量（D7）

| $|r|$ 经验 | 强度（Cohen 粗估） |
|———-|——————-|
| 0.1 | 弱 |
| 0.3 | 中 |
| 0.5+ | 强 |

注意：大 $n$ 时 $r=0.1$ 也可 $p<0.05$；须同时看 $r$ 与 CI。

7. 局限与误用（D8）

$图 4　常见误用$

误用	说明
相关 = 因果	需 RCT、工具变量等
忽略非线性	Pearson 仅线性；用散点图
离群点驱动	Spearman 更稳健
范围限制	仅中间段相关 → 伪相关
混合亚群	Simpson 悖论
只报 p 不报 r	效应量缺失

8. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)
x = rng.normal(0, 1, 50)
y = 0.8 * x + rng.normal(0, 0.6, 50)

r, p = stats.pearsonr(x, y)
rho, p_s = stats.spearmanr(x, y)
print(f"Pearson r={r:.3f}, p={p:.4e}")
print(f"Spearman rho={rho:.3f}, p={p_s:.4e}")

plt.scatter(x, y, alpha=0.7)
plt.xlabel("X"); plt.ylabel("Y"); plt.title(f"Pearson r={r:.2f}")
plt.savefig("corr_scatter.png", dpi=150)

9. 系列导航

篇号	主题
02 Pearson	线性、连续正态
03 Spearman	秩、单调
04 Kendall	有序、$\tau$
05 偏相关/矩阵	多变量
10 分类相关	Phi、Cramér’s V
20 特征选择	Filter、FDR、共线性

存量：相关分析 | 相关系数与特征选择

10. 小结

相关分析量化关联；选型看数据类型与是否线性。显著性检验不能替代散点图与效应量解读。

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