Math-02.相关性检验-10.分类变量相关

当至少一个变量为分类（categorical）时，Pearson / Spearman / Kendall 不再直接适用。本篇介绍 Phi 系数、Cramér’s V（Cramér’s V）、点二列相关（point-biserial correlation）及与卡方检验的关系。

段末注释：Phi 系数（$\phi$）为 $2\times2$ 列联表的标准化关联强度；Cramér’s V 推广到任意 $r\times c$ 表。

系列：01 总论 | 07 卡方

1. 问题与直观（D1）

$图 1　分类相关直观$

两分类：突变有害/无害 vs 表达高/低 → $2\times2$ 列联表
多分类：氨基酸类型 vs 活性等级 → $r\times c$ 表
一分类一连续：是否达标（0/1）vs 酶活数值 → 点二列

2. 数据类型与系数选型（D2）

X \ Y	连续	二分类	多分类
连续	Pearson / Spearman	点二列 $r_{pb}$	多二列 / ANOVA $\eta$
二分类	点二列	Phi $\phi$	Cramér’s V
多分类	ANOVA / $\eta$	Cramér’s V	Cramér’s V

3. 公式与显著性（D3–D4）

$图 2　Phi 与 Cramér's V$

3.1 Phi 系数（$2\times2$）

列联表卡方 $\chi^2$，样本量 $n$：

$$
\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}, \quad \phi \in [0,1]
$$

$\phi$ 大 → 两二元变量关联强。符号需结合表内方向解读（或报告 OR）。

3.2 Cramér’s V（$r\times c$）

$$
V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1,, c-1)}}, \quad V \in [0,1]
$$

$r$ 行数，$c$ 列数；$2\times2$ 时 $V=|\phi|$。

3.3 点二列相关

二元 $D\in{0,1}$ 与连续 $Y$：

$$
r_{pb} = \frac{\bar{Y}_1 - \bar{Y}_0}{s_Y}\sqrt{\frac{n_0 n_1}{n(n-1)}}
$$

等价于 Pearson($D, Y$)（当 0/1 编码时）。

3.4 显著性

$H_0$：两变量独立 → 卡方检验或 Fisher 精确（小样本）；系数本身为效应量。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	方法
有害/无害 vs 高/低表达	Phi
20 种氨基酸 vs 活性档	Cramér’s V
是否 WT 以上 vs 酶活	点二列
交叉表 + p 值	$\chi^2$ + V

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	说明
期望频数 $<5$	Fisher 精确；慎用 $\chi^2$
有序分类当名义	损失信息 → Spearman / $\tau$
$V$ 随表维度变大	仅在同维度表间粗比
相关≠因果	同连续变量
稀疏大表	合并类别 / 正则化

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

# 2x2: 突变类型 vs 活性档
table = np.array([[45, 5], [12, 38]])  # rows: harmful/benign, cols: low/high
chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(table)
n = table.sum()
phi = np.sqrt(chi2 / n)
print(f"Phi={phi:.3f}, chi2 p={p:.4e}")

# Cramér's V (general)
def cramers_v(table):
    chi2 = stats.chi2_contingency(table)[0]
    n = table.sum()
    r, c = table.shape
    return np.sqrt(chi2 / (n * min(r - 1, c - 1)))

# 3x4 示例
table_rc = np.array([[10, 5, 2, 1], [8, 12, 6, 3], [2, 4, 15, 9]])
print(f"Cramer's V={cramers_v(table_rc):.3f}")

# 点二列：二元 vs 连续
rng = np.random.default_rng(42)
d = rng.integers(0, 2, 60)
y = 1.0 + 0.8 * d + rng.normal(0, 0.5, 60)
r_pb, p_pb = stats.pointbiserialr(d, y)
r_pearson = stats.pearsonr(d, y)[0]
print(f"point-biserial r={r_pb:.3f}, pearson(0/1,y)={r_pearson:.3f}")

7. 小结

分类相关：$2\times2$ 用 Phi；一般列联表用 Cramér’s V；二元+连续用 点二列。
显著性走 $\chi^2$ / Fisher；系数报告效应量。

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参考文献

scipy.stats.chi2_contingency