Math-00.数学分布-11.二项分布

二项分布（Binomial distribution）描述 $n$ 次独立伯努利试验中成功总次数 $X$ 的分布，是统计推断中比例与计数的核心模型。

段末注释：i.i.d.（independent and identically distributed）指独立同分布；二项假设每次试验成功概率同为 $p$。

读前说明：离散分布，仅 PMF。系列：00 规划 | 前置：10.伯努利。

1. 产生背景与直观

$图 1　二项分布直观$

将伯努利试验独立重复 $n$ 次，每次成功概率 $p$，问「一共成功几次」。抛 $n$ 次硬币正面次数、$n$ 个突变中有害个数、$n$ 次测序比对成功次数，均属此类。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Binomial}(n, p)$：

要素	内容
支撑集	${0, 1, \ldots, n}$
参数	$n \in \mathbb{N}^+$（试验次数），$p \in (0,1)$（单次成功概率）

3. PMF 与 CDF

$图 2　PMF 形态$

3.1 PMF

$$
P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\ldots,n
$$

其中 $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$。

3.2 CDF

$$
F(k) = P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}
$$

分位数：可用 scipy.stats.binom.ppf 求第 $q$ 分位点。

4. 数字特征

量	公式
期望	$\mathbb{E}[X] = np$
方差	$\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$
众数	$\lfloor (n+1)p \rfloor$ 或 $\lfloor (n+1)p \rfloor - 1$（依 $p$）

$p$ 接近 0.5 且 $n$ 大时，PMF 近似对称。

5. 与其他分布的关系

关系	条件
Bernoulli	$n=1$ 时 $\mathrm{Binomial}(1,p)=\mathrm{Bernoulli}(p)$
Poisson 极限	$n \to \infty$, $p \to 0$, $np \to \lambda$ → $\mathrm{Poisson}(\lambda)$ → 12.泊松
正态近似	$n$ 大，$X$ 近似 $\mathcal{N}(np,, np(1-p))$ → 20.正态
负二项	固定成功次数，试验次数随机
Beta–Binomial	$p$ 随机时过度离散 → 25.Beta

6. 前提假设

假设	含义	违背时
$n$ 固定	试验次数已知且固定	直到第 $r$ 次成功 → 负二项
i.i.d.	各次独立，同成功概率 $p$	不独立 → 超几何或相关模型
$p$ 恒定	每次成功概率均为 $p$	学习效应/批次 → Beta–Binomial
有放回或 $N\gg n$	总体无限或有放回，$p$ 不因抽样改变	无放回有限总体 → 超几何

段末注释：i.i.d.（independent and identically distributed，独立同分布）是二项模型的核心；$N\gg n$ 时超几何可近似二项。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
比例估计	$n$ 个样本中阳性率 $\hat{p}=k/n$
A/B 测试	两组转化率比较
测序	$n$ 条 read 中比对成功条数
质检抽样	抽检 $n$ 件中不合格数
酶筛选	$n$ 个克隆中活性达标个数

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
非独立试验	contagion、批次效应 → 方差膨胀
$p$ 不恒定	应使用 Beta-Binomial 或混合模型
$n$ 小 + 正态近似	应用精确二项或 Clopper-Pearson 区间
过度计数	单位时间事件数 → 泊松
无上限计数	非固定 $n$ → 负二项/泊松
无放回有限总体	→ 16.超几何

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

$$
\hat{p} = \frac{k}{n}, \quad \hat{n p} = k
$$

9.2 检验

单样本：$H_0: p=p_0$，精确二项检验 / 大样本 Z 检验
两样本比例：$\chi^2$ 或 Fisher 精确检验
与两组数据差异显著性检验、Math-01 衔接

10. 示例与代码

场景：50 个酶变体中 12 个活性 ≥ WT，检验是否优于随机（$p_0=0.2$）。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

n, k, p0 = 50, 12, 0.2
p_hat = k / n

# PMF 条形图
ks = np.arange(0, n + 1)
pmf = stats.binom.pmf(ks, n, p_hat)

# 假设检验
result = stats.binomtest(k, n, p=p0, alternative='greater')
print(f"p_hat={p_hat:.3f}, one-sided p-value vs p0={p0}: {result.pvalue:.4f}")

# 置信区间
ci = result.proportion_ci(confidence_level=0.95, method='wilson')
print(f"95% Wilson CI: [{ci.low:.3f}, {ci.high:.3f}]")

# 不同 p 的 PMF 对比
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
for p, label in [(0.2, 'p=0.2'), (p_hat, f'p_hat={p_hat:.2f}')]:
    ax.plot(ks, stats.binom.pmf(ks, n, p), 'o-', ms=3, label=label)
ax.set_xlabel('k'); ax.set_ylabel('PMF'); ax.legend()
ax.set_title('Binomial PMF (n=50)')
plt.savefig('binom_pmf_demo.png', dpi=150)

11. 小结

Binomial($n,p$)：$n$ 次独立试验成功次数；$\mathbb{E}=np$，$\mathrm{Var}=np(1-p)$。
大 $n$ 小 $p$ → Poisson；大 $n$ → 正态近似。
比例推断与 A/B 测试的离散基础。

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参考文献

scipy.stats.binom