Math-00.数学分布-12.泊松分布

泊松分布（Poisson distribution）描述固定时间/空间窗口内稀有事件发生次数，是计数数据与 RNA-seq 读段建模的基础分布之一。

段末注释：RNA-seq（RNA sequencing）为 RNA 二代测序；计数基因读段常先用泊松或负二项建模。

读前说明：离散分布，仅 PMF。系列：00 规划 | 相关：11.二项。

1. 产生背景与直观

$图 1　泊松直观$

西莫恩·泊松（1837）研究稀有事件：若事件以平均速率 $\lambda$ 随机、独立地发生，则单位时间内发生 $k$ 次的概率服从 Poisson。直觉：

某基因在 1M 读段中的比对条数
单位时间内收到的测序仪错误读段数
稀有突变在群体中的出现次数（大总体近似）

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$：

要素	内容
支撑集	${0, 1, 2, \ldots}$
参数	$\lambda > 0$（单位区间内平均发生次数，率参数）

3. PMF 与 CDF

$图 2　PMF 形态$

3.1 PMF

$$
P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots
$$

3.2 CDF

$$
F(k) = P(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!}
$$

4. 数字特征

量	公式
期望	$\mathbb{E}[X] = \lambda$
方差	$\mathrm{Var}(X) = \lambda$
偏度	$1/\sqrt{\lambda}$
峰度	$1/\lambda$（超额）

均值 = 方差 是 Poisson 的标志性性质（等离散，equi-dispersion）。

5. 与其他分布的关系

关系	说明
二项极限	$n \to \infty$, $p \to 0$, $np \to \lambda$：$\mathrm{Binomial}(n,p) \to \mathrm{Poisson}(\lambda)$
正态近似	$\lambda$ 大时 $X \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ → 20.正态
Gamma–Poisson	等待时间间隔 $\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$，计数 $\sim$ Poisson
负二项	方差 $>$ 均值（过离散）时用 NB 替代
Poisson 回归	$\log \lambda_i = \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta}$

6. 前提假设

假设	含义	违背时
独立事件	各事件互不影响	聚集/传染 → 复合 Poisson 等
恒定强度 $\lambda$	单位时间/空间平均发生率不变	非齐次 → 时变 $\lambda(t)$
稀有性	单窗口内同一瞬间至多一次（或 $n$ 大 $p$ 小极限）	固定 $n$ 次计数 → 二项
固定观测窗口	在确定区间/区域内计数	等待时间 → 指数
等离散	$\mathrm{Var}(X)\approx\mathbb{E}[X]=\lambda$	过离散 → 负二项

段末注释：Poisson 可视为二项在 $n\to\infty,,p\to 0,,np\to\lambda$ 下的极限；也是 Poisson 过程在固定窗口内的计数分布。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
测序计数	基因读段数（无生物学重复时）
稀有事件	单位时间测序错误、突变检出
排队论	单位时间到达任务数
空间计数	显微视野内荧光点个数
外泌体 QC	单位窗口内 miRNA 读段计数（粗粒度）

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
过离散	方差 $> \lambda$（RNA-seq 常见）→ 负二项分布
零膨胀	零值过多 → ZIP / ZINB 模型
不独立事件	批次、文库复杂度影响 → 复合泊松失效
$\lambda$ 过小	大比例零值，正态近似不适用
固定总量约束	读段总和固定 → 多项而非独立 Poisson

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

观测 $x_1,\ldots,x_n$ i.i.d. Poisson：

$$
\hat{\lambda}{\mathrm{MLE}} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n x_i
$$

9.2 检验

两样本计数率：Poisson 率检验 / $\chi^2$
拟合优度：观测频数 vs Poisson 期望频数
K-S / 卡方拟合 见显著性检验规划

10. 示例与代码

场景：某基因在 3 个重复文库中读段数为 45、52、38，估计 $\lambda$ 并可视化 PMF。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

counts = np.array([45, 52, 38])
lam_hat = counts.mean()
print(f"lambda_MLE = {lam_hat:.2f}")

# 95% CI for lambda (chi-square approx for Poisson mean)
n = len(counts)
total = counts.sum()
ci_low = stats.chi2.ppf(0.025, 2 * total) / (2 * n)
ci_high = stats.chi2.ppf(0.975, 2 * (total + 1)) / (2 * n)
print(f"95% CI for lambda: [{ci_low:.1f}, {ci_high:.1f}]")

# PMF plot
k = np.arange(0, 80)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.bar(k, stats.poisson.pmf(k, lam_hat), alpha=0.7, label=f'λ={lam_hat:.1f}')
for c in counts:
    ax.axvline(c, color='red', ls='--', alpha=0.6)
ax.set_xlabel('count k'); ax.set_ylabel('PMF')
ax.set_title('Poisson fit to gene counts')
plt.savefig('poisson_gene_counts.png', dpi=150)

# 模拟
sim = stats.poisson.rvs(mu=lam_hat, size=1000, random_state=42)
print("sim mean:", sim.mean(), "sim var:", sim.var())

11. 小结

Poisson($\lambda$)：稀有事件计数；$\mathbb{E}=\mathrm{Var}=\lambda$。
来自 Binomial 极限；$\lambda$ 大时近似正态。
RNA-seq 常因过离散需升级到负二项；Poisson 仍是理解计数模型的起点。

系列导航：11.二项 | 20.正态

参考文献

scipy.stats.poisson