Math-00.数学分布-21.对数正态分布

对数正态分布（Log-normal distribution）描述：取对数后服从正态分布的正值随机变量，广泛适用于右偏的浓度、酶活、基因表达量等实验数据。

段末注释：若 $Y=\log X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，则 $X$ 服从对数正态；$\mu,\sigma$ 为对数尺度参数，非 $X$ 本身的均值方差。

读前说明：连续分布，下文给出 PDF。系列：01 总论 | 相关：20 正态。

1. 产生背景与直观

$图 1　右偏数据取对数后对称$

许多生物测量值为正且长尾右偏：不能为负、少数极大值拉高均值。若乘性噪声占主导（$\times$ 而非 $+$），则 $\log X$ 近似对称 → 正态。金斯顿（1930s）系统研究收入、细菌浓度等，形成 Log-normal 模型。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Lognormal}(\mu, \sigma^2)$，等价于 $\log X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$：

要素	内容
支撑集	$(0, +\infty)$
参数	$\mu \in \mathbb{R}$，$\sigma > 0$（对 $\log X$ 的均值与标准差）

3. PDF 与 CDF

$图 2　PDF 右偏形态$

3.1 PDF

$$
f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0
$$

3.2 CDF

$$
F(x) = \Phi\left(\frac{\log x - \mu}{\sigma}\right)
$$

其中 $\Phi$ 为标准正态 CDF。

4. 数字特征

量	公式
$\mathbb{E}[X]$	$e^{\mu + \sigma^2/2}$
$\mathrm{Var}(X)$	$(e^{\sigma^2}-1), e^{2\mu+\sigma^2}$
中位数	$e^\mu$
众数	$e^{\mu - \sigma^2}$
$\mathbb{E}[\log X]$	$\mu$
$\mathrm{Var}(\log X)$	$\sigma^2$

报告习惯：右偏数据常报告几何均值 $e^{\bar{\log x}}$ 而非算术均值。

5. 与其他分布的关系

关系	说明
正态	$\log X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ → 20
指数	$\sigma$ 很大时的特例形态
Gamma / Weibull	同为正值偏态，选型靠拟合与机理
CLT 不适用	对 $X$ 直接做 t 检验常不当；应对 $\log X$ 或用工况检验

6. 前提假设

假设	含义	违背时
$X>0$	观测值为正	含零/负值 → 平移或正态
$\log X$ 近似正态	对数变换后对称	变换无效 → 其他偏态族
乘性机制	变量为多个正因子相乘（或等价对数加性）	加性误差 → 正态
右偏单峰	浓度、表达量、收入等典型形态	多峰 → 混合对数正态

段末注释：报告均值/方差时须区分原始尺度与对数尺度参数，勿混用。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
酶活/动力学	$k_{\mathrm{cat}}$、$K_m$ 跨数量级比较
基因表达	FPKM/TPM 正值右偏
收入/浓度	环境污染物、药物血药浓度
生存时间	与 Weibull 竞争（失效机理不同）
QC	文库浓度、粒径（部分仪器读数）

与数据标准化-平方根转换、酶学评估指标衔接。

8. 局限与误用

$图 4　局限$

误用	后果
含零或负值直接 log	需偏移或换模型
对原尺度做 t 检验	偏态 + 异方差；应对 $\log$ 尺度或非参
混淆 $\mu$ 与 $\mathbb{E}[X]$	参数解释错误
双峰数据单峰 Log-normal	应混合分布或分组
忽略检测下限	左截断需 Tobit 等

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

对 $x_1,\ldots,x_n > 0$，令 $y_i = \log x_i$：

$$
\hat{\mu} = \bar{y}, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum (y_i - \bar{y})^2
$$

9.2 检验

对 $\log X$ 做 t 检验
两组几何均值比较：$\log$ 变换后标准流程
拟合优度：K-S、Shapiro 对 $\log x$

10. 示例与代码

场景：8 个变体酶活（相对 WT），右偏，比较几何均值。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

activity = np.array([0.8, 1.1, 1.5, 2.3, 0.9, 3.1, 1.2, 4.5])  # 右偏
log_a = np.log(activity)
mu_hat, sigma_hat = log_a.mean(), log_a.std(ddof=1)

print(f"log-scale: mu={mu_hat:.3f}, sigma={sigma_hat:.3f}")
print(f"geometric mean = {np.exp(mu_hat):.3f}")
print(f"arithmetic mean = {activity.mean():.3f}")

# 拟合对数正态 PDF
x = np.linspace(0.01, 5, 200)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
axes[0].hist(activity, bins=6, density=True, alpha=0.6)
axes[0].plot(x, stats.lognorm.pdf(x, s=sigma_hat, scale=np.exp(mu_hat)), 'r-')
axes[0].set_title('Original scale')

axes[1].hist(log_a, bins=6, density=True, alpha=0.6)
axes[1].plot(np.linspace(-1, 2, 100), stats.norm.pdf(np.linspace(-1, 2, 100), mu_hat, sigma_hat), 'r-')
axes[1].set_title('Log scale ~ Normal')
plt.savefig('lognormal_enzyme.png', dpi=150)

# t-test on log scale vs log(1)
t, p = stats.ttest_1samp(log_a, 0.0)
print(f"t-test on log(activity) vs 0: t={t:.3f}, p={p:.4f}")

11. 小结

Log-normal：$X>0$，$\log X$ 正态；酶学/组学右偏数据的默认思考模型之一。
推断优先在对数尺度或使用几何均值；与 20 正态成对理解。

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