Math-00.数学分布-22.指数分布

指数分布（Exponential distribution）刻画独立泊松事件之间的等待时间，具有唯一的无记忆性（memoryless property），是可靠性分析与生存模型的基础构件。

段末注释：无记忆性指 $P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t)$：已等待 $s$ 不影响剩余等待时间的分布。

读前说明：连续分布，下文给出 PDF。系列：01 总论 | 相关：12 泊松。

1. 产生背景与直观

$图 1　泊松事件间隔$

若事件以速率 $\lambda$ 按泊松过程到达，则两次事件之间等待时间 $T$ 服从 $\mathrm{Exp}(\lambda)$。直觉：测序仪故障间隔、分子等待碰撞时间、放射性衰变等待（理想化）。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$，$\lambda > 0$ 为率参数（单位时间平均事件数）：

要素	内容
支撑集	$[0, +\infty)$
尺度参数	有时记 $\beta = 1/\lambda$（均值）

3. PDF 与 CDF

$图 2　PDF 单调递减$

3.1 PDF

$$
f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0
$$

3.2 CDF

$$
F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0
$$

生存函数 $S(x)=P(X>x)=e^{-\lambda x}$。

4. 数字特征

量	公式
$\mathbb{E}[X]$	$1/\lambda$
$\mathrm{Var}(X)$	$1/\lambda^2$
中位数	$(\log 2)/\lambda$
偏度	$2$
峰度（超额）	$6$

5. 与其他分布的关系

关系	说明
Poisson	计数与等待时间对偶：$N(t) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)$
Gamma	$k$ 个独立 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ 之和 $\sim \mathrm{Gamma}(k, \lambda)$ → 24.Gamma
Geometric	离散等待次数 → 13.几何
Weibull	扩展无记忆性；$k=1$ 时为指数 → 29.Weibull

6. 前提假设

假设	含义	违背时
$X\ge 0$	等待时间/寿命非负	—
无记忆性	$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$	老化/磨损 → Weibull
恒定风险率 $\lambda$	任一时刻失效强度不变	风险率变化 → Weibull/Gamma
Poisson 过程间隔	独立 Poisson 事件之间等待时间	非 Poisson → 其他点过程

段末注释：指数是 Gamma$(1,\lambda)$ 特例；$k=1$ 的 Weibull 亦为指数。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
等待时间	服务队列、设备故障间隔
生存分析	恒定风险率（$h(t)=\lambda$）特例
可靠性	随机失效（无老化）理想模型
化学动力学	一级反应等待时间（单步）

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
风险率非常数	老化/学习效应 → Weibull、Cox
有界等待	截断指数
多阶段过程	混合指数或 Gamma
与对数正态混淆	指数比 Log-normal 更陡、更轻尾

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

$$
\hat{\lambda}{\mathrm{MLE}} = \frac{n}{\sum{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\bar{x}}
$$

9.2 检验

指数性检验：K-S 对 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$
与几何分布的离散对应检验

10. 示例与代码

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟平均 2 小时一次的故障，观测 20 次间隔
lam = 0.5  # per hour
intervals = stats.expon.rvs(scale=1/lam, size=20, random_state=42)
lam_hat = 1 / intervals.mean()
print(f"lambda_hat={lam_hat:.3f}, mean interval={intervals.mean():.2f}h")

x = np.linspace(0, 8, 200)
plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.hist(intervals, bins=8, density=True, alpha=0.6, label='data')
plt.plot(x, stats.expon.pdf(x, scale=1/lam_hat), 'r-', label='fitted Exp')
plt.xlabel('waiting time (h)'); plt.legend()
plt.savefig('exponential_wait.png', dpi=150)

# 无记忆性演示
s, t = 1.0, 2.0
cond = stats.expon.sf(s+t) / stats.expon.sf(s)
uncond = stats.expon.sf(t)
print(f"P(X>{s+t}|X>{s})={cond:.4f}, P(X>{t})={uncond:.4f}")

11. 小结

Exp($\lambda$)：等待时间基准；无记忆、与 Poisson 对偶。
恒定风险率假设不满足时升级到 Weibull 或 Gamma。

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