Math-01.显著性检验-06.Mann-Whitney检验

Mann-Whitney U 检验（又称 Wilcoxon 秩和检验，两独立样本）比较两组连续或有序数据的分布位置，不假设正态，基于秩（rank）而非原始数值。

段末注释：秩（rank）为将样本从小到大排序后的名次；非参数检验对分布形态假设较弱。

1. 检验问题（D1）

$图 1　Mann-Whitney 直观$

$H_0$：两独立样本来自相同分布（或 $P(X>Y)=0.5$）
$H_1$：一组倾向于更大（或分布不同）

比较的是随机抽取时一组大于另一组的概率，而非严格均值（除非分布形状相同）。

2. 数据条件（D2）

条件	说明
独立	两组独立样本
连续或有序	可排序；大量结（tie）需注意
非正态 / 小 $n$	相对 t 的优势场景
形状	检验位置差时，两组分布形状宜相似

3. 检验统计量（D3–D4）

$图 2　秩和与 U 统计量$

合并两组排序，记 $R_1$ 为第一组秩和：

$$
U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1
$$

大样本下 $U$ 近似正态；小样本用精确分布表。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	说明
酶活偏态、$n$ 小	替代双样本 t
有序评分（1–5）	非参数合适
异常值多	秩对极端值稳健
存量文章推荐	两组数据差异显著性检验 §3

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	说明
形状差大	显著可能来自尺度而非位置
配对数据	应用 Wilcoxon 符号秩（`wilcoxon`）
多组	Kruskal-Wallis
检验均值	应用 t（若正态）
效应量	报告 rank-biserial $r$ 或 Cliff’s delta

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)
# 偏态数据
g1 = rng.lognormal(0, 0.5, 12)
g2 = rng.lognormal(0.2, 0.5, 12)

u, p = stats.mannwhitneyu(g1, g2, alternative='two-sided')
print(f"Mann-Whitney U={u:.0f}, p={p:.4f}")

# 与 t 对比
t, p_t = stats.ttest_ind(g1, g2, equal_var=False)
print(f"Welch t p={p_t:.4f}")

# 配对 → Wilcoxon signed-rank
before = rng.normal(1.0, 0.2, 10)
after = before + rng.normal(0.15, 0.1, 10)
w, p_w = stats.wilcoxon(after - before)
print(f"Wilcoxon signed-rank p={p_w:.4f}")

7. 小结

Mann-Whitney：两独立样本非参数；基于秩，对偏态/小 $n$ 稳健。
配对用 Wilcoxon 符号秩；多组用 Kruskal-Wallis。

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参考文献

scipy.stats.mannwhitneyu