Math-02.相关性检验-03.Spearman相关

Spearman 秩相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient）$\rho_s$ 基于变量的秩（rank）而非原始值，度量单调关系，对离群点更稳健，不要求双变量正态。

段末注释：秩（rank）为将样本按大小排序后的名次；Spearman 即对秩做 Pearson。

1. 定义与直观（D1）

$图 1　Spearman 直观$

$X$ 增大时 $Y$ 单调增（或减）→ $\rho_s > 0$（或 $<0$），即使关系是指数/对数等非线性。

2. 数据前提（D2）

条件	说明
单调	$X$ 与 $Y$ 单调相关
有序/连续	可排序即可
不要求正态	非参数
对离群稳健	基于秩

3. 公式与显著性（D3–D4）

$图 2　Spearman vs Pearson$

对秩 $R(x_i), R(y_i)$ 计算 Pearson 即得 $\rho_s$。无并列秩时：

$$
\rho_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}
$$

$d_i = R(x_i) - R(y_i)$。

$H_0: \rho_s = 0$：大样本下可用与 Pearson 类似的 $t$ 近似；scipy.stats.spearmanr 给出 p 值。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	说明
表达量偏态	log 前先用 Spearman 探单调
有序评分	等级与连续指标
含离群点	比 Pearson 稳健
非线性单调	$Y=X^2$ 型（需 $X$ 范围适当）

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	说明
非单调关系	U 形仍可能 $\rho_s \approx 0$
大量并列秩	用 scipy 精确算法
样本极小	p 值不稳定
忽略非单调	仍须散点图
与 Kendall 重复	小样本 Kendall 更稳

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
x = rng.uniform(1, 10, 40)
y = np.exp(0.3 * x) + rng.normal(0, 2, 40)  # 单调非线性

r_p, p_p = stats.pearsonr(x, y)
rho, p_s = stats.spearmanr(x, y)
print(f"Pearson r={r_p:.3f}, p={p_p:.4e}")
print(f"Spearman rho={rho:.3f}, p={p_s:.4e}")

# 离群点影响
x2 = np.append(x, [50])
y2 = np.append(y, [5])
print("with outlier:")
print(f"  Pearson r={stats.pearsonr(x2,y2)[0]:.3f}")
print(f"  Spearman rho={stats.spearmanr(x2,y2)[0]:.3f}")

7. 小结

Spearman $\rho_s$：秩相关，测单调；非参数、抗离群。
Pearson 不满足或关心单调非线性时首选。

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参考文献

scipy.stats.spearmanr