Math-07.贝叶斯推断-04.贝叶斯更新与序贯

本页讲解序贯贝叶斯更新——数据逐批到达时，今日后验 = 明日先验，自然支持在线决策。

段末注释：序贯推断（sequential inference）每观测到新数据 $D_t$ 即更新 $p(\theta \mid D_{1:t})$；共轭族下更新仅为超参数累加。

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1. 更新规则（D2–D3）

$图 1　后验 → 新先验 → 新后验$

$$
p(\theta \mid D_{1:t}) \propto p(D_t \mid \theta), p(\theta \mid D_{1:t-1})
$$

Beta–Binomial 序贯：每来一批 $(k_t, n_t)$，

$$
\alpha \leftarrow \alpha + k_t, \quad \beta \leftarrow \beta + n_t - k_t
$$

计算 $O(1)$，无需重存全量原始数据（仅充分统计量）。

2. A/B 测试（D3–D7）

$图 2　两版后验重叠度$

决策量：$P(\theta_B > \theta_A \mid D)$ — 从两后验各抽样估计。

策略	说明
固定样本量	传统频率派 power 分析
贝叶斯早停	$P(\text{胜}) > 0.95$ 或 $P(\text{差}) > 0.95$ 时停
Thompson Sampling	按后验比例随机分配流量

与 Math-01 检验对比：贝叶斯直接给**「B 优于 A 的概率」**，更易业务沟通。

3. 跨领域序贯应用（D7）

$图 3　序贯决策场景$

领域	序贯场景	更新对象
互联网 A/B	转化率、留存	Beta 后验
推荐系统	多臂 bandit	各臂奖励后验
工业 SPC	实时不良率	Beta–Binomial
流行病学	每日新增病例	Gamma–Poisson
量化交易	波动率在线估计	递推 Kalman / 贝叶斯
临床试验	适应性设计	疗效后验（需规范）
实验筛选	逐批测活性	高斯过程（→ 20 BO）

4. 与频率派序贯检验（D6）

	频率派（SPRT 等）	贝叶斯序贯
输出	p 值 / 停界	后验 / 胜率概率
可选停	需校正 α	后验自然更新（仍忌 peeking 误读）
先验	无	可编码历史经验

注意：反复「偷看」后验再决定是否继续，若最终仍用同一阈值，可能夸大置信；工业界常用预注册停止规则。

5. 局限（D8）

$图 4　序贯局限$

问题	说明
非共轭	每步需 MCMC/VI，代价高
分布漂移	平稳假设不成立时后验滞后
先验主导（早期）	样本少时决策受先验影响大
多变量耦合	独立更新忽略参数相关

6. 序贯 Beta 更新示例（D12）

from scipy import stats

alpha, beta = 1.0, 1.0  # 先验 Beta(1,1)
batches = [(12, 100), (8, 80), (15, 120)]  # (成功, 试验)

for t, (k, n) in enumerate(batches, 1):
    alpha += k
    beta += n - k
    post = stats.beta(alpha, beta)
    print(f"t={t}: mean={post.mean():.3f}, 95% CI={post.interval(0.95)}")

7. 小结

序贯更新使贝叶斯适合流式数据与在线实验。下一篇：05 变分推断 VI。

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