图神经网络：原理、算法与分子建模入门

许多科学对象天然是关系数据：分子中原子通过化学键相连、蛋白质残基通过接触或共价键构成网络、引物–模板–酶之间是相互作用图。若把每个实体当作节点（node）、把关系当作边（edge），就得到图（graph）$G=(V,E)$。图神经网络（Graph Neural Network，GNN）在图上做可微分的邻居信息聚合，学习既尊重局部连接、又对节点排列顺序不敏感（置换不变，permutation invariant）的表示。本文是 SE(3)-等变图神经网络：原理、算法与应用场景的前置导读：先掌握普通 GNN 的「消息–聚合–更新」骨架，再进入带三维坐标与对称性约束的几何等变模型会顺畅得多。

段末注释：GNN 泛指在图结构上通过多层邻居聚合学习表示的神经网络族；置换不变指打乱节点编号后，合理的图级输出应保持不变。

1. 为什么用图而不是表格或网格

数据形态	典型例子	归纳偏置
表格（独立样本）	溶解度数据库的一行一个分子描述符	样本之间无结构关联
网格（规则邻域）	二维图像像素	平移局部性、固定邻域
图（不规则邻域）	分子、知识图谱、蛋白质接触图	谁与谁相连因样本而异

分子用SMILES 或指纹（fingerprint）也能喂给多层感知机（Multi-Layer Perceptron，MLP），但键连拓扑、环结构、官能团上下文被压扁后不易显式传递。GNN 把「第 $k$ 个原子的邻居是谁」写进计算图，使每一层表示自动融合多跳邻域（multi-hop neighborhood）信息。

分子可表示为节点（原子）与边（化学键或相互作用）的图

图 1（科普示意）：左为三维分子直观图；右为抽象图 $G=(V,E)$，节点携带原子类型等特征，边可编码键级或距离。

段末注释：SMILES 为分子的一维字符串表示；指纹为固定长度的二进制或实值向量，常由子结构枚举得到。

2. 图的数学表示与特征

2.1 邻接与度

邻接矩阵 $\mathbf{A}\in{0,1}^{n\times n}$：$A_{ij}=1$ 表示 $i$ 与 $j$ 相连（无向图常令 $\mathbf{A}$ 对称）。
邻接表 $\mathcal{N}(i)={j:(i,j)\in E}$：稀疏存储，大规模图与小批量（mini-batch）训练更常用。
节点特征矩阵 $\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{n\times d}$：第 $i$ 行为 $\mathbf{x}_i$（原子序数 one-hot、杂化、形式电荷等）。
边特征（可选）$\mathbf{e}{ij}$：键型、空间距离 $r{ij}$、是否共价等。

2.2 同构图 vs 异构图

同构图（homogeneous graph）：节点、边类型单一（如「全是碳链原子 + 单/双键」）。
异构图（heterogeneous graph）：多种节点/边类型（蛋白质中残基、配体、离子；边分「共价」「氢键」「接触」）。可用关系图卷积（R-GCN）等扩展，核心仍是分类型消息传递。

2.3 有向、无向与加权

无向化学键常把消息沿边双向传递；信息流、引物延伸方向等场景可用有向边。边权 $w_{ij}$ 可表示接触强度、共现频率或 $1/r_{ij}$ 等。

3. 普通 MLP / CNN 的局限

MLP 把每个节点当作独立向量：节点 $i$ 的预测无法直接利用邻居 $j$ 的标签或特征，除非手工拼接固定长度邻居列表（长度随图变化，不便）。

卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）的卷积核在规则网格上滑动；图的邻域大小 $|\mathcal{N}(i)|$ 随节点变化，没有统一的「$3\times3$ 窗口」。

左：节点孤立输入 MLP；右：GNN 沿边聚合邻居，表示随层数扩大感受野

图 2（科普示意）：GNN 通过边共享信息；堆叠 $L$ 层后，节点 $i$ 的表示近似融合 $L$ 跳 内邻居（类似 CNN 的感受野）。

段末注释：感受野指输出依赖的输入范围；GNN 中常由层数与跳数刻画。

4. 消息传递神经网络（核心范式）

消息传递神经网络（Message Passing Neural Network，MPNN）将一层 GNN 抽象为三步（Gilmer et al., 2017）：

消息（message）：$\mathbf{m}_{ij}^{(t)}=\phi_m!\left(\mathbf{h}_i^{(t)},\mathbf{h}j^{(t)},\mathbf{e}{ij}\right)$
聚合（aggregate）：$\bar{\mathbf{m}}i^{(t)}=\bigoplus{j\in\mathcal{N}(i)}\mathbf{m}_{ij}^{(t)}$，其中 $\bigoplus$ 常为 sum / mean / max
更新（update）：$\mathbf{h}_i^{(t+1)}=\phi_u!\left(\mathbf{h}_i^{(t)},\bar{\mathbf{m}}_i^{(t)}\right)$

初始 $\mathbf{h}_i^{(0)}=\mathbf{x}_i$。图级预测再经读出（readout）函数 $\mathbf{h}_G = \rho({\mathbf{h}i^{(T)}}{i\in V})$。

消息、聚合、更新三步；边上传导特征，中心节点被邻居「告知」

图 3（科普示意）：与后续 SE(3)-等变 GNN 相同的外壳；区别主要在于消息函数 $\phi_m$ 是否使用三维坐标、是否保证旋转等变。

段末注释：MPNN 是多数 GNN 变体的统一写法；读出 $\rho$ 将节点集合映射为图向量。

5. 代表算法（由经典到常用）

5.1 图卷积网络（GCN）

Kipf & Welling (2017) 的图卷积网络（Graph Convolutional Network，GCN）在谱域近似下得到简洁形式。令 $\tilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}+\mathbf{I}$，$\tilde{\mathbf{D}}$ 为 $\tilde{\mathbf{A}}$ 的度矩阵，则一层可写为：

$$
\mathbf{H}^{(t+1)} = \sigma!\left(\tilde{\mathbf{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{D}}^{-\frac{1}{2}}\mathbf{H}^{(t)}\mathbf{W}^{(t)}\right).
$$

直觉：先对邻居特征做对称归一化加权平均，再经可学习线性 $\mathbf{W}^{(t)}$ 与非线性 $\sigma$。多层 GCN 加深时可能出现过平滑（over-smoothing）：各节点表示趋于相同，需残差、跳连或层数控制。

5.2 图注意力网络（GAT）

图注意力网络（Graph Attention Network，GAT，Veličković et al., 2018）为不同邻居赋予可学习权重 $\alpha_{ij}$（常经 masked softmax 归一化），适合「并非所有邻居同等重要」的接触图或知识图谱。

$$
\mathbf{h}i^{(t+1)}=\sigma!\left(\sum{j\in\mathcal{N}(i)\cup{i}}\alpha_{ij},\mathbf{W}\mathbf{h}_j^{(t)}\right).
$$

5.3 GraphSAGE

GraphSAGE（Hamilton et al., 2017）强调归纳式（inductive）学习：训练时见过部分图结构，推理时可对新节点/新图做前向。聚合器除 mean 外，常用 LSTM 聚合器（需对邻居随机排列）或 pooling 聚合器（$\max$ / mean 后再 MLP）。

5.4 其它常遇变体（点到为止）

模型	要点
GIN	用 sum 聚合 + MLP，在 WL 测试意义下表达力较强
GINE	边特征进入消息，适合分子键型
SchNet / DimeNet	分子三维坐标进入，但主要用距离等不变量（为 $\mathrm{SE}(3)$ 续篇铺垫）
R-GCN	异构关系类型分通道

6. 图级读出与置换不变性

节点级任务（原子电荷、残基溶剂可及性）直接用 $\mathbf{h}_i^{(T)}$。图级任务（分子能量、毒性分类、蛋白–配体结合有无）需置换不变的 $\rho$，常见：

全局平均池化（global mean pooling）：$\mathbf{h}_G=\frac{1}{|V|}\sum_i \mathbf{h}_i^{(T)}$
全局求和池化（global sum pooling）
Set2Set / 注意力池化：可学习权重但仍对排列不变

$多层 GNN 后的节点嵌入经池化得到图表示 $\mathbf{h}_G$；节点标号置换不改变 $\mathbf{h}_G$$

图 4（科普示意）：读出层保证「同一图、不同节点编号」得到相同图级向量（对合理的 $\rho$）。

段末注释：WL 测试（Weisfeiler–Lehman test）是衡量 GNN 区分图结构能力的经典工具；过弱的聚合可能无法区分某些非同构图。

7. 分子与蛋白场景中的构图实践

7.1 节点与边怎么定

设定	节点	边
小分子	原子	共价键；或半径图（$r_{ij} < r_{\mathrm{cut}}$ 时连边）
蛋白质	残基 $C_\alpha$ 或全原子	序列相邻 + 空间接触（实践见蛋白结构 Python 编码）
蛋白–配体	异构节点	跨分子接触边

半径图能编码非共价相互作用，但边数随截断半径增大；$k$ 近邻图（$k$NN）可控制度数上界。

7.2 特征与标签

节点：元素、杂化、芳香性、B-factor（结构）、进化保守性（MSA）等。
边：键级、$r_{ij}$、相对方向（进入等变模型时关键）。
图级标签：溶解度、活性、结合亲和力；节点级：原子电荷、残基二级结构。

7.3 与普通 GNN 相关的坑

数据泄漏：随机划分分子时，高度相似骨架应归入同一折（骨架聚类划分，scaffold split）。
图大小差异：批处理需 padding + batch 向量 或 PyG 的 Batch 合并。
对称性：普通 GNN 不保证旋转坐标后向量输出同步旋转；标量性质可用距离等不变特征缓解。若需力、取向等向量输出，见下文衔接。

8. 训练与工程速览

组件	说明
PyTorch Geometric（PyG）	`Data(x, edge_index, edge_attr, y)`，`DataLoader` 批图
DGL	另一主流图深度学习框架，API 不同但 MPNN 思想一致
损失	图级交叉熵 / MSE；节点级 mask 未标注节点
深度	3–5 层常见起点；观察验证集是否过平滑

最小数据流（伪代码）：

# x: [N, d_in], edge_index: [2, E]
h = x
for layer in gnn_layers:
    h = layer(h, edge_index, edge_attr)  # 内部: message -> aggregate -> update
h_graph = global_mean_pool(h, batch)      # batch 区分图中的节点属于哪张图
y_hat = mlp_readout(h_graph)

9. 典型应用场景

分子性质、蛋白网络、推荐、材料、药物发现等 GNN 应用示意

图 5（科普示意）：GNN 已广泛用于化学信息学、生物网络与关系型数据；科学计算中常与三维几何模型衔接。

场景	任务类型	GNN 作用
分子性质预测	图级回归/分类	聚合原子环境预测溶解度、毒性等
反应产率 / 选择性	图级	反应物–试剂构图或产物图
蛋白质功能注释	节点/图级	残基图上传导序列与接触信息
虚拟筛选	图级打分	蛋白–配体异构图
引物/序列–结构	序列图或 $k$-mer 图	局部上下文编码（与本文聚合酶系列主题相邻）

10. 从普通 GNN 到 SE(3)-等变 GNN

掌握本文后，你已具备阅读 SE(3)-等变图神经网络的前置概念：

概念	普通 GNN（本文）	SE(3)-等变 GNN（续篇）
输入几何	可选 $r_{ij}$、拓扑	显式 $\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^3$，相对方向进消息
对称性	常仅对置换不变	另需对旋转/平移等变或不变
输出	多为标量图级	标量（能量）+ 向量（力、位移）
代表模型	GCN、GAT、GraphSAGE	EGNN、SE(3)-Transformer、NequIP

续篇将回答：「坐标旋转后，网络输出的力为何应随坐标系一起转？」——那是在 MPNN 骨架上，把 $\phi_m$ 换成等变张量积与球谐方向编码后的结果。

11. 小结

图神经网络把「关系」写进前向计算：通过消息–聚合–更新在局部邻域反复交换信息，再用置换不变读出得到图级表示。GCN 提供归一化邻域平均的简洁基线，GAT 与 GraphSAGE 分别强化注意力与归纳场景。分子与蛋白建模中，构图方式（共价 vs 半径图）、划分策略与池化读出往往决定基线强弱；当任务涉及三维向量与刚体对称性时，应在同一 MPNN 范式上升级为 SE(3)-等变 架构。

参考文献与延伸阅读

Gilmer, J. et al. Neural Message Passing for Quantum Chemistry. ICML 2017.
Kipf, T. N. & Welling, M. Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks. ICLR 2017.
Veličković, P. et al. Graph Attention Networks. ICLR 2018.
Hamilton, W. L. et al. Inductive Representation Learning on Large Graphs. NeurIPS 2017 (GraphSAGE).
Xu, K. et al. How Powerful are Graph Neural Networks? ICLR 2019 (GIN).
PyTorch Geometric 文档: https://pytorch-geometric.readthedocs.io
实践：图神经网络处理蛋白结构：Python 数据流与编码实践
续篇：SE(3)-等变图神经网络：原理、算法与应用场景