Math-00.数学分布-31.抽样分布

抽样分布（sampling distribution）描述统计量（如 $\bar{X}$、$S^2$）在重复抽样下的概率规律，是连接样本数据与正态、t、卡方、F 的理论桥梁——检验的临界值来自抽样分布，而非原始数据分布。

段末注释：统计量（statistic）是由样本计算的函数，不含未知参数；参数（parameter）描述总体。

读前说明：本篇为推断衔接专论，下文给出核心抽样分布公式。系列：00 规划 | 前置：20.正态。

1. 产生背景与直观

$图 1　抽样分布直观$

同一总体反复抽 $n$ 个样本，每次算 $\bar{X}$，$\bar{X}$ 的值会波动——其分布叫 $\bar{X}$ 的抽样分布。原始数据可能偏态，但 $\bar{X}$ 在大 $n$ 下常近正态（CLT）。

2. 基本设定

设 $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d.，总体均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$：

统计量	定义
样本均值	$\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
样本方差	$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$
标准化均值	$Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

3. 核心抽样分布

$图 2　统计量 → 参考分布$

3.1 正态总体：$\bar{X}$ 的分布

若 $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，则精确地：

$$
\bar{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu,, \frac{\sigma^2}{n}\right)
$$

3.2 $\sigma$ 已知：Z 统计量

$$
Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)
$$

3.3 $\sigma$ 未知：t 统计量

$$
T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}
$$

→ 27.t 分布

3.4 样本方差与 $\chi^2$

正态总体下：

$$
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}, \quad \bar{X} \perp S^2
$$

→ 26.卡方

3.5 两样本方差比：F 统计量

独立正态两样本，$S_1^2,S_2^2$ 为样本方差：

$$
F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F_{n_1-1,, n_2-1}
$$

→ 28.F 分布

4. 数字特征

统计量	$\mathbb{E}$	$\mathrm{Var}$（正态总体）
$\bar{X}$	$\mu$	$\sigma^2/n$
$S^2$	$\sigma^2$	$2\sigma^4/(n-1)$

$\bar{X}$ 的标准误（standard error）：$\mathrm{SE}(\bar{X}) = \sigma/\sqrt{n}$，估计为 $s/\sqrt{n}$。

5. 分布关系链

链条	说明
CLT	任意总体，$n$ 大：$\bar{X}$ 近似 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2/n)$ → 40.极限
Z → t	用 $S$ 替 $\sigma$ → 重尾 t
$\chi^2$ + Z → t	$T = Z/\sqrt{V/(n-1)}$
两个 $\chi^2$ → F	方差比
多元	Hotelling $T^2$ → 30.多元正态

6. 前提假设

以下假设针对由样本统计量诱导的抽样分布：

假设	含义	违背时
总体正态（精确）	$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ 时 $\bar X,\ s^2$ 的精确分布	非正态 → CLT 近似或 Bootstrap
i.i.d. 简单随机样本	观测独立同分布	复杂抽样 → 设计校正
两样本独立	双样本 $t$/F 中两组独立	配对 → 配对 $t$
CLT 大样本（近似）	$n$ 足够大时 $\bar X$ 近似正态	小样本偏态 → 精确/非参数

段末注释：抽样分布是连接总体分布与 Math-01 显著性检验的桥梁。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	抽样分布
单样本 t 检验	$T \sim t_{n-1}$
置信区间	$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}, s/\sqrt{n}$
ANOVA 方差分析	F 统计量
QC 重复性	$\bar{X}$ 的控制图限
功效分析	基于 $\bar{X}$ 分布定 $n$

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
$n$ 小 + 非正态	t 区间覆盖不足
非独立样本	抽样分布公式失效
$\sigma$ 已知却用 t	保守但可接受
多次 peeking	反复看数据 → 假阳性膨胀
混淆数据与抽样分布	对原始 $X_i$ 做 t 检验 vs 对 $\bar{X}$ 的分布

9. 推断要点

9.1 单样本均值

$H_0: \mu=\mu_0$，$\sigma$ 未知：

$$
T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad \text{（在 } H_0 \text{ 下）}
$$

9.2 与 Math-01 衔接

完整检验步骤见 Math-01 显著性检验与两组数据差异显著性检验。

10. 示例与代码

场景：模拟正态总体，验证 $\bar{X}$ 分布与 $T$ 统计量。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)
mu, sigma, n = 10.0, 2.0, 8
N_sim = 5000

means, t_stats = [], []
for _ in range(N_sim):
    x = rng.normal(mu, sigma, size=n)
    xbar, s = x.mean(), x.std(ddof=1)
    means.append(xbar)
    t_stats.append((xbar - mu) / (s / np.sqrt(n)))

means = np.array(means)
t_stats = np.array(t_stats)

print(f"E[Xbar] sim={means.mean():.3f}, theory={mu}")
print(f"Var[Xbar] sim={means.var():.5f}, theory={sigma**2/n:.5f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
axes[0].hist(means, bins=40, density=True, alpha=0.7, label="sim Xbar")
x = np.linspace(means.min(), means.max(), 200)
axes[0].plot(x, stats.norm.pdf(x, mu, sigma/np.sqrt(n)), "r-", lw=2, label="N(mu, sigma2/n)")
axes[0].legend(); axes[0].set_title("Sampling dist of Xbar")

axes[1].hist(t_stats, bins=40, density=True, alpha=0.7, label="sim T")
t = np.linspace(-4, 4, 200)
axes[1].plot(t, stats.t.pdf(t, n - 1), "r-", lw=2, label=f"t({n-1})")
axes[1].legend(); axes[1].set_title("T = (Xbar-mu)/(S/sqrt(n))")
plt.savefig("sampling_dist_demo.png", dpi=150)

# chi2 for (n-1)S^2/sigma^2
s2 = np.var(rng.normal(mu, sigma, (N_sim, n)), ddof=1, axis=1)
chi2_stats = (n - 1) * s2 / sigma**2
print("chi2 mean:", chi2_stats.mean(), "theory:", n - 1)

11. 小结

抽样分布回答「统计量在重复抽样下如何波动」。
正态总体：$\bar{X}$ 正态、$(n-1)S^2/\sigma^2$ 卡方、$T$ 为 t；两样本方差比为 F。
CLT 将 $\bar{X}$ 的近似正态推广到非正态总体（$n$ 大）。

系列导航：20.正态 | 27.t | 40.极限

参考文献

Casella G., Berger R. Statistical Inference.
scipy.stats.t