Math-00.数学分布-14.负二项分布

负二项分布（Negative Binomial distribution，NB）描述达到第 $r$ 次成功所需总实验次数或等价地作为过离散计数模型，是泊松在方差 $>\lambda$ 时的标准扩展，广泛用于 RNA-seq。

段末注释：过离散（overdispersion）指观测方差大于均值；RNA-seq 基因读段计数常呈现此特征。

读前说明：离散分布，下文给出 PMF。系列：12 泊松 | 01 总论。

1. 产生背景与直观

$图 1　等待 r 次成功$

两种等价直觉：

等待时间视角：独立伯努利试验中，第 $r$ 次成功前失败次数 $Y$。
计数视角：计数 $X$ 的方差 $> \mathbb{E}[X]$，Poisson 无法拟合，用 NB 增加离散参数。

2. 定义与参数

常用参数化（scipy nbinom）：$X \sim \mathrm{NB}(n, p)$

要素	内容
支撑集	${0, 1, 2, \ldots}$
参数	$n>0$（成功次数阈值 / 离散度），$p \in (0,1)$

另一参数化：均值 $\mu$ 与离散参数 $\alpha$，$\mathrm{Var}=\mu+\alpha\mu^2$。

3. PMF 与 CDF

$图 2　PMF 比 Poisson 更宽$

3.1 PMF（scipy 约定）

$$
P(X=k) = \binom{k+n-1}{k} (1-p)^k p^n, \quad k=0,1,2,\ldots
$$

3.2 与 Poisson 对比

	Poisson	Negative Binomial
$\mathbb{E}$	$\lambda$	$n(1-p)/p$
$\mathrm{Var}$	$\lambda$	$n(1-p)/p^2 > \mathbb{E}$

4. 数字特征

量	公式（$n,p$ 参数化）
$\mathbb{E}[X]$	$n(1-p)/p$
$\mathrm{Var}(X)$	$n(1-p)/p^2$
离散指数	$\mathrm{Var}/\mathbb{E} = 1/p > 1$

5. 与其他分布的关系

关系	说明
几何	$n=1$ 时 NB 为几何分布 → 规划 13
Poisson	$r\to\infty$ 适当极限可趋近 Poisson
Poisson–Gamma 混合	$\Lambda \sim \mathrm{Gamma}$，$X
二项	不同生成机制；勿混淆

6. 前提假设

计数型参数化（过离散计数）：

假设	含义	违背时
过离散	$\mathrm{Var}(X)>\mathbb{E}[X]$	等离散 → 泊松
独立计数	各观测独立（或条件独立）	时间相关 → 时间序列模型

等待型参数化（第 $r$ 次成功前的失败数）：

假设	含义	违背时
独立 Bernoulli	每次试验独立、同 $p$	不独立 → 非 NB
$p$ 恒定	成功概率不变	时变 $p$
固定目标 $r$	等待第 $r$ 次成功	$r=1$ 即几何

段末注释：负二项兼作 Poisson–Gamma 混合（$\lambda$ 随机）与「等待第 $r$ 次成功」两种机制。

7. 适用场景

$图 3　RNA-seq 过离散$

场景	示例
RNA-seq / scRNA-seq	基因读段计数，DESeq2、edgeR 底层
生态计数	过度分散的物种计数
保险索赔	索赔次数方差 $>$ 均值
失败等待	第 $r$ 次合格前的废品数

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
零膨胀	零过多 → ZINB
文库组成约束	读段总和固定 → 多项 / Beta-binomial
小样本 $n$	参数估计不稳
误用 Poisson	低估方差 → 假阳性（差异表达）

9. 参数估计与推断

9.1 MLE / 矩估计

可用 scipy.stats.nbinom.fit 或 DESeq2 的离散度估计 $\alpha$。

9.2 检验

NB 回归：$\log \mu_i = \mathbf{x}_i^\top\boldsymbol{\beta}$，检验系数
与 Poisson 比较：似然比检验

10. 示例与代码

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟过离散计数：方差 > 均值
rng = np.random.default_rng(42)
counts = stats.nbinom.rvs(n=5, p=0.4, size=100)
print(f"mean={counts.mean():.2f}, var={counts.var():.2f}")

# 与 Poisson 对比
lam = counts.mean()
poisson_sim = stats.poisson.rvs(mu=lam, size=100, random_state=rng)
print(f"Poisson sim: mean={poisson_sim.mean():.2f}, var={poisson_sim.var():.2f}")

k = np.arange(0, 25)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.bar(k - 0.15, stats.nbinom.pmf(k, n=5, p=0.4), width=0.3, label='NB(5,0.4)', alpha=0.7)
ax.bar(k + 0.15, stats.poisson.pmf(k, lam), width=0.3, label=f'Poisson({lam:.1f})', alpha=0.7)
ax.legend(); ax.set_xlabel('k')
plt.savefig('nbinom_vs_poisson.png', dpi=150)

11. 小结

NB 解决过离散计数；RNA-seq 差异分析的事实标准之一。
方差 $\approx$ 均值时用 12 泊松即可。

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