Math-00.数学分布-16.超几何分布

超几何分布（Hypergeometric distribution）描述无放回抽样中「$n$ 次抽取里成功个数」的分布。总体有限、每次抽取改变剩余构成，是二项分布（有放回/无限总体）的有限总体修正。

段末注释：无放回抽样（sampling without replacement）指每次抽取后不再放回总体，后续概率依赖已抽结果。

读前说明：离散分布，下文给出 PMF。系列：00 规划 | 对比：11.二项。

1. 产生背景与直观

$图 1　超几何分布直观$

罐中有 $N$ 球，其中 $K$ 个红球（成功）、$N-K$ 个白球。不放回抽 $n$ 个，问抽到 $x$ 个红球的概率。每抽一次，红球比例变化——与二项「每次 $p$ 不变」不同。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Hypergeometric}(N, K, n)$：

要素	内容
支撑集	${\max(0,n+K-N),\ldots,\min(n,K)}$
$N$	总体大小（有限）
$K$	总体中「成功」个数
$n$	抽样次数

3. PMF 与 CDF

$图 2　PMF 与二项对比$

3.1 PMF

$$
P(X=x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x \in {\max(0,n+K-N),\ldots,\min(n,K)}
$$

3.2 CDF

$$
F(x) = \sum_{i=0}^{x} P(X=i)
$$

分位数：可用 scipy.stats.hypergeom.ppf。

4. 数字特征

记 $p = K/N$：

量	公式
$\mathbb{E}[X]$	$n \cdot \dfrac{K}{N} = np$
$\mathrm{Var}(X)$	$n p (1-p) \dfrac{N-n}{N-1}$
有限总体校正	因子 $\dfrac{N-n}{N-1}$（$n=1$ 时为 1）

方差小于同参数二项（因无放回负相关）。

5. 与其他分布的关系

关系	条件
Binomial 近似	$N \gg n$：$\mathrm{Hypergeom}(N,K,n) \approx \mathrm{Binomial}(n, K/N)$
二项 vs 超几何	有放回 → 二项；无放回 → 超几何
Fisher 精确检验	$2\times2$ 列联表在固定边际下服从超几何
负超几何	抽直到 $r$ 个成功（与 14.负二项类比）

6. 前提假设

假设	含义	违背时
有限总体 $N$	总体大小已知且有限	$N\gg n$ → 二项
$K$ 已知	总体中「成功」个数已知	$K$ 不确定 → 估计或贝叶斯
无放回抽样	每次抽取不放回，构成改变	有放回 → 二项
简单随机样本	从剩余总体中等概率抽取	分层/聚类 → 复杂抽样设计

段末注释：样本内各次抽取负相关（总和固定）；方差含有限总体校正 $(N-n)/(N-1)$。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
质检抽样	$N$ 件中 $K$ 不合格，抽 $n$ 件检不合格数
生态捕获	标记 $K$ 只，再捕 $n$ 只中标记数
扑克/抽奖	有限牌堆中特定牌张数
Fisher 精确	小样本 $2\times2$ 表独立性
文库亚克隆	有限克隆库中目标序列被抽中次数

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
$N$ 很大仍用精确超几何	计算贵；$N \gg n$ 可用二项
有放回却用超几何	应使用二项
$n/N$ 大	与二项差异显著，不可忽略 FPC
总体不确定 $N$	需估计或贝叶斯
多阶段复杂抽样	分层/聚类需更复杂设计

9. 参数估计与推断

9.1 推断

总体比例 $p=K/N$ 的估计常基于观测 $x/n$；有限总体校正进入方差。

9.2 Fisher 精确检验

$2\times2$ 表在固定行和列边际下，任一单元格计数服从超几何；用于小样本独立性检验，与 26.卡方大样本 $\chi^2$ 对照。

10. 示例与代码

场景：1000 件产品 50 件不合格，抽 20 件检验，求 $P(X \ge 2)$ 及与二项近似对比。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

N, K, n = 1000, 50, 20
p = K / N

x = np.arange(0, min(n, K) + 1)
hyper_pmf = stats.hypergeom.pmf(x, N, K, n)
binom_pmf = stats.binom.pmf(x, n, p)

print("P(X>=2) hypergeom:", 1 - stats.hypergeom.cdf(1, N, K, n))
print("P(X>=2) binom approx:", 1 - stats.binom.cdf(1, n, p))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.bar(x - 0.15, hyper_pmf, width=0.3, label='Hypergeom', alpha=0.85)
ax.bar(x + 0.15, binom_pmf, width=0.3, label='Binomial approx', alpha=0.85)
ax.set_xlabel('x (defects in sample)'); ax.legend()
plt.savefig('hypergeom_vs_binom.png', dpi=150)

# Fisher exact: 2x2 table
table = [[8, 2], [12, 18]]  # example
odds, p_fisher = stats.fisher_exact(table)
print(f"Fisher exact p-value: {p_fisher:.4f}")

11. 小结

Hypergeom($N,K,n$)：无放回抽样的成功数；$\mathbb{E}=nK/N$，方差含 FPC $(N-n)/(N-1)$。
$N \gg n$ 时近似 Binomial；小样本列联表用 Fisher 精确。
与二项的核心区别：有限总体 + 无放回。

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参考文献

scipy.stats.hypergeom