Math-01.显著性检验-04.F检验

F 检验（F-test）基于 F 分布，用于两总体方差比检验与单因素方差分析（analysis of variance，ANOVA）——比较多组连续变量的均值是否全相等。

段末注释：ANOVA 将总变异分解为组间与组内，组间均方 / 组内均方 $\sim F$。

系列：01 总论 | 分布：28.F

1. 检验问题（D1）

$图 1　F 检验直观$

类型	$H_0$	$H_1$
方差齐性	$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$	$\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
单因素 ANOVA	$\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$	至少一组均值不同

2. 数据条件（D2）

条件	说明
正态	各组近似正态（ANOVA 对正态较稳健，对方差不齐敏感）
独立	组内、组间独立
方差齐性	ANOVA 假设各组 $\sigma^2$ 相等
连续	因变量连续

3. 检验统计量（D3–D4）

$图 2　F 统计量$

3.1 两样本方差比

$$
F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F_{n_1-1,, n_2-1} \quad (H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2)
$$

3.2 单因素 ANOVA

$$
F = \frac{\mathrm{MS}{\mathrm{between}}}{\mathrm{MS}{\mathrm{within}}}
= \frac{\mathrm{SS}{\mathrm{between}}/(k-1)}{\mathrm{SS}{\mathrm{within}}/(N-k)}
\sim F_{k-1,, N-k}
$$

$k$ 组，总样本 $N$。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	用法
t 检验前置	Levene / F 检验方差齐性
多组酶活比较	单因素 ANOVA
多处理条件	3+ 组均值
显著后两两比较	Tukey HSD

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	应对
ANOVA 显著 ≠ 知哪两组不同	事后检验 + 校正
方差不齐	Welch ANOVA / Kruskal
非正态	Kruskal-Wallis
仅 2 组仍用 ANOVA	等价 t，直接用 t
忽略效应量	报告 $\eta^2$

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)
a = rng.normal(1.0, 0.2, 15)
b = rng.normal(1.15, 0.35, 15)
c = rng.normal(0.95, 0.25, 15)

# 方差齐性 F（较大方差作分子）
f = np.var(a, ddof=1) / np.var(b, ddof=1)
p_f = 2 * min(stats.f.cdf(f, 14, 14), 1 - stats.f.cdf(f, 14, 14))
print(f"F var ratio={f:.2f}, p={p_f:.4f}")
print("Levene:", stats.levene(a, b))

# 单因素 ANOVA
f_stat, p_anova = stats.f_oneway(a, b, c)
print(f"ANOVA F={f_stat:.3f}, p={p_anova:.4f}")

# eta-squared 效应量
all_data = np.concatenate([a, b, c])
groups = np.repeat([0, 1, 2], [len(a), len(b), len(c)])
grand_mean = all_data.mean()
ss_between = sum(len(g)*(g.mean()-grand_mean)**2 for g in [a,b,c])
ss_total = ((all_data - grand_mean)**2).sum()
eta2 = ss_between / ss_total
print(f"eta^2 = {eta2:.3f}")

7. 小结

F 检验：方差比与 ANOVA 核心；参考 F 分布。
ANOVA 显著后须事后比较（20 多重比较校正）；检查方差齐性与正态性。

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参考文献

scipy.stats.f_oneway