Math-01.显著性检验-07.卡方检验

卡方检验（chi-square test，$\chi^2$ test）比较观测频数与期望频数的差异，用于拟合优度（是否服从某分布）与列联表独立性（两分类变量是否相关），统计量在大样本下近似卡方分布。

段末注释：列联表（contingency table）为交叉分类的频数矩阵；拟合优度检验单变量分布假设。

1. 检验问题（D1）

$图 1　卡方检验直观$

类型	$H_0$
拟合优度	各类比例等于 $p_i$
独立性	行变量与列变量独立
同质性	多组比例相等

2. 数据条件（D2）

条件	说明
分类 / 分箱	计数数据
期望频数	一般要求 $E_i \ge 5$（或至少 80% 格 $\ge 5$）
独立	各观测独立
小 $2\times2$	期望过小 → Fisher 精确

3. 检验统计量（D3–D4）

$图 2　χ² 统计量$

$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$

拟合优度：$df = k - 1 - p$（$p$ 为估计参数个数）
$r \times c$ 列联表：$df = (r-1)(c-1)$

$H_0$ 下 $\chi^2 \sim \chi^2_{df}$（渐近）。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	用法
孟德尔比例	拟合优度
处理 vs 响应（分类）	独立性
测序碱基组成 vs 期望	拟合优度
多组阳性率	同质性 / 列联表

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	应对
期望 $<5$	合并类别 / Fisher 精确
配对分类	McNemar
连续变量未分箱	先分箱或 KS/t
大 $n$ 必显著	报告 Cramér’s $V$
参数估计未减 $df$	正确计算自由度

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

# 拟合优度：观测 vs 均匀四类
obs = np.array([32, 18, 25, 25])
exp = np.full(4, obs.sum() / 4)
chi2, p = stats.chisquare(obs, exp)
print(f"Goodness-of-fit chi2={chi2:.2f}, p={p:.4f}")

# 2x2 独立性
table = np.array([[45, 5], [12, 38]])
chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(table)
print(f"Independence chi2={chi2:.2f}, df={dof}, p={p:.4f}")
print("Expected:\n", expected)

# Fisher 精确（小样本）
odds, p_f = stats.fisher_exact(table)
print(f"Fisher exact p={p_f:.4f}")

# Cramér's V
n = table.sum()
v = np.sqrt(chi2 / (n * (min(table.shape) - 1)))
print(f"Cramer's V={v:.3f}")

7. 小结

$\chi^2$ 检验：计数数据核心；拟合优度 + 列联表独立性。
注意期望频数与 $df$；小样本 $2\times2$ 用 Fisher 精确。

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参考文献

scipy.stats.chi2_contingency