Math-02.相关性检验-02.Pearson相关

Pearson 积矩相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient）$r$ 度量两连续变量的线性相关程度，是最常用的参数相关方法。

段末注释：积矩（product-moment）指用 $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ 的均值标准化得到 $r$。

系列：01 总论 | 分布：27.t

1. 定义与直观（D1）

$图 1　不同 $|r|$ 下的散点形态：强正相关、弱相关、无相关、强负相关$

Pearson $r$ 度量的是线性趋势：散点越贴近一条直线，$|r|$ 越接近 1；若云团呈圆形分布（$X$ 增大时 $Y$ 无系统偏移），则 $r \approx 0$。注意 $r \approx 0$ 只表示无线性相关，不排斥 U 形等非线性关系。

2. 数据前提（D2）

条件	说明
连续	或近似连续
线性	$Y$ 与 $X$ 关系近似直线
双变量正态	精确推断的理想前提；$n$ 大时 CLT 缓解
同方差	极端异方差时 $r$ 可失真
独立	配对数据用配对相关

$n \gtrsim 500$ 时常近似认为样本均值/相关检验可用 CLT（见 40.极限）。

3. 公式与显著性（D3–D4）

$图 2　样本散点、最小二乘拟合线与 $r$ 公式；$H_0\!: \rho=0$ 的 $t$ 检验$

分子 $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ 累积「$X,Y$ 是否同向偏离各自均值」；分母用两变量离差的标准化尺度把结果压缩到 $[-1,1]$。

$$
r = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}
$$

$H_0: \rho = 0$：

$$
t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \sim t_{n-2}
$$

Fisher $z$ 变换（置信区间）：$z = \mathrm{artanh}(r)$ 近似正态，用于 $\rho$ 的 CI。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　典型场景：酶活–荧光、共表达基因（log 变换后）、Biomarker–表型初筛$

场景	示例
酶活 vs 荧光强度	连续、近似线性
两基因表达	RNA-seq log 计数
简单回归 $R^2$	$R^2 = r^2$
biomarker 初筛	与表型 Pearson 排序

5. 局限与误用（D8）

$图 4　Anscombe 型陷阱：离群点、U 形非线性、同 $r$ 不同形态；相关不等于因果$

问题	应对
U 形/非线性	Spearman 或变换
离群点	稳健相关 / Spearman
仅正态边缘	需双变量正态；看 QQ
相关≠因果	实验设计
Anscombe 四重奏	必画散点图

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)
n = 80
x = rng.normal(0, 1, n)
y = 0.75 * x + rng.normal(0, 0.8, n)

r, p = stats.pearsonr(x, y)
# t 检验等价
t = r * np.sqrt(n - 2) / np.sqrt(1 - r**2)
p_t = 2 * stats.t.sf(abs(t), n - 2)
print(f"r={r:.3f}, pearsonr p={p:.4e}, t={t:.2f}")

# Fisher z 95% CI for rho
z = np.arctanh(r)
se = 1 / np.sqrt(n - 3)
ci = np.tanh([z - 1.96*se, z + 1.96*se])
print(f"95% CI for rho: [{ci[0]:.3f}, {ci[1]:.3f}]")

7. 小结

Pearson $r$：线性相关；$H_0$ 用 $t_{n-2}$。
前提：连续、近似线性；非线性/离群 → Spearman。

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参考文献

scipy.stats.pearsonr